অধ্যায়-১: ভৌত রাশি এবং তাদের পরিমাপ - পদার্থবিজ্ঞান প্র্যাকটিস

১. দৃশ্যকল্প-১ : একটি ঘনক আকৃতির পাথরের দৈর্ঘ্য 8 cm ।
দৃশ্যকল্প-২ : সামিন ব্যবহারিক ক্লাসে ত্রুটিহীন স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি কাঠের টুকরার দৈর্ঘ্য মাপতে গিয়ে দেখল যে, প্রধান স্কেল পাঠ 13.5 cm এবং ভার্নিয়ার সমপাতন 4, ভার্নিয়ার স্কেলের মোট ভাগ সংখ্যা 10 ।

স্ক্রু গজের পিচকে বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়, তাকে স্ক্রু গজের ন্যূনাঙ্ক বা লঘিষ্ঠ গণন বলে। অর্থাৎ ন্যূনাঙ্ক = পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের ভাগসংখ্যা।

মৌলিক রাশি স্বাধীন; এগুলোকে অন্য ভৌত রাশির সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না। কিন্তু লব্ধ রাশি এক বা একাধিক মৌলিক রাশির গাণিতিক সমন্বয়ে প্রকাশিত হয়।

মৌলিক রাশির একক মৌলিক একক—যেমন দৈর্ঘ্যের মিটার ও ভরের কিলোগ্রাম। লব্ধ রাশির একক মৌলিক একক থেকে গঠিত—যেমন বেগের m s⁻¹ এবং বলের kg m s⁻²।

ঘনকের আয়তন, V = l³

ঘাতযুক্ত রাশির আপেক্ষিক ত্রুটির সূত্র অনুযায়ী,

ΔV/V = 3Δl/l

দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, Δl/l = 10%

আয়তন পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি = 3 × 10%

= 30%

অতএব, ঘনকটির আয়তন নির্ণয়ে আপেক্ষিক ত্রুটি প্রায় 30%।

সাধারণ প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ, 1 MSD = 1 mm = 0.1 cm

ভার্নিয়ার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা, n = 10

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD/n

= 0.1/10

= 0.01 cm

প্রধান স্কেল পাঠ, M = 13.5 cm

ভার্নিয়ার সমাপতন, V = 4

স্লাইড ক্যালিপার্সে কাঠের দৈর্ঘ্য, L = M + V × VC

= 13.5 + 4 × 0.01

= 13.54 cm

সাধারণ স্কেলে পাঠ হতো 13.5 cm। ফলে বাদ পড়া ভগ্নাংশ = 13.54 - 13.5 = 0.04 cm

সাধারণ স্কেলের আপেক্ষিক বিচ্যুতি = (0.04/13.54) × 100%

= 0.295% প্রায়

স্লাইড ক্যালিপার্সের লঘিষ্ঠ গণন 0.01 cm, যা সাধারণ স্কেলের 0.1 cm-এর দশ ভাগের এক ভাগ। তাই এটি অতিরিক্ত 0.04 cm শনাক্ত করে 13.54 cm পাঠ দেয় এবং সাধারণ স্কেলের তুলনায় অধিক সূক্ষ্ম ও গ্রহণযোগ্য পরিমাপ প্রদান করে।

২. নিচের চিত্রটি লক্ষ্য কর।

বাহ্যিক বলের প্রভাবে কোনো বস্তুর একক দৈর্ঘ্যে যে পরিবর্তন ঘটে, তাকে বিকৃতি বা strain বলে। অর্থাৎ বিকৃতি, ε = ΔL/L।

ঘনত্ব, ρ = m/V। তাপমাত্রা বাড়লে অধিকাংশ পদার্থের অণুগুলোর গড় দূরত্ব বাড়ে এবং পদার্থের আয়তন প্রসারণের কারণে বৃদ্ধি পায়, কিন্তু ভর অপরিবর্তিত থাকে। তাই m স্থির রেখে V বাড়লে ρ কমে যায়।

ছোট পিস্টনে প্রযুক্ত বল, F₁ = 4 N

ছোট পিস্টনের ব্যাসার্ধ, r₁ = 10 cm

বড় পিস্টনের ব্যাসার্ধ, r₂ = 40 cm

প্যাসকেলের সূত্র অনুযায়ী, F₁/A₁ = F₂/A₂

F₂ = F₁(A₂/A₁)

= F₁(πr₂²/πr₁²)

= 4 × (40/10)²

= 4 × 16

= 64 N

অতএব, F₂ বলের মান 64 N।

তরল স্তম্ভের চাপ, P = hρg।

পারদের ঘনত্ব, ρₕ = 13600 kg m⁻³ এবং গভীরতা, hₕ = 76 cm = 0.76 m

পারদের চাপ, Pₕ = hₕρₕg

= 0.76 × 13600 × 9.8

= 101292.8 Pa

একই চাপের জন্য পানির ঘনত্ব ρw = 1000 kg m⁻³ হলে,

hw = Pₕ/(ρwg)

= 101292.8/(1000 × 9.8)

= 10.336 m

কেরোসিনের ঘনত্ব ρₖ = 800 kg m⁻³ হলে,

hₖ = Pₕ/(ρₖg)

= 101292.8/(800 × 9.8)

= 12.92 m

অতএব, 0.76 m পারদ, 10.336 m পানি এবং 12.92 m কেরোসিনের স্তম্ভের চাপ একই—প্রায় 1.013 × 10⁵ Pa। ঘনত্ব কম হলে একই চাপের জন্য গভীরতা বেশি লাগে।

৩. একটি 750 g ভরের পানিতে অদ্রবণীয় ঘনক আকৃতির ঘনবস্তু স্লাইড ক্যালিপার্সে স্থাপনের পর যে পাঠ পাওয়া গেল তা হচ্ছে প্রধান স্কেলের পাঠ 12.6 cm, ভার্নিয়ার সমপাতন 4। স্কেলের ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.01 cm. (পানির ঘনত্ব 1000kgm-3)

কোনো বস্তু বা ঘটনার যে পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্যকে সংখ্যামান ও এককের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়, তাকে ভৌত রাশি বলে।

সাধারণ মিটার স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ 1 mm। তাই এটি দিয়ে কেবল মিলিমিটার পর্যন্ত দৈর্ঘ্য নির্ভরযোগ্যভাবে মাপা যায়; মিলিমিটারের ভগ্নাংশ বা খুব ছোট বস্তুর ব্যাস, পুরুত্ব কিংবা গভীরতা সরাসরি নির্ণয় করা যায় না। এ কারণে ক্ষুদ্র ও সূক্ষ্ম পরিমাপে মিটার স্কেলের পরিবর্তে স্লাইড ক্যালিপার্স বা স্ক্রু গজ ব্যবহার করতে হয়।

প্রধান স্কেলের পাঠ, M = 12.6 cm

ভার্নিয়ার সমাপতন, V = 4

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.01 cm

ঘনকের দৈর্ঘ্য, L = M + V × VC

= 12.6 + 4 × 0.01

= 12.64 cm

অতএব, ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য 12.64 cm।

ঘনকের বাহু, L = 12.64 cm

ঘনকের আয়তন, V = L³

= (12.64)³

= 2019.49 cm³ প্রায়

ঘনকের ভর, m = 750 g

ঘনকের ঘনত্ব, ρ = m/V

= 750/2019.49

= 0.3714 g cm⁻³

= 371.4 kg m⁻³ প্রায়

ভাসমান অবস্থায় বস্তুর ওজন = অপসারিত পানির ওজন। তাই ডুবন্ত আয়তন Vₛ এবং মোট আয়তন V হলে,

ρVg = ρwVₛg

Vₛ/V = ρ/ρw

= 371.4/1000

= 0.3714

শতকরা ডুবন্ত অংশ = 0.3714 × 100% = 37.14% প্রায়

অতএব, ঘনবস্তুটির মোট আয়তনের প্রায় 0.371 অংশ বা 37.14% পানিতে ডুববে।

৪.

দৃশ্যকল্প-১: একটি তারের ব্যাস স্ক্রু গজের সাহায্যে নির্ণয় করে নিম্নলিখিত পাঠ পাওয়া যায়:

রৈখিক স্কেল পাঠ (mm)	বৃত্তাকার স্কেলের ভাগ সংখ্যা	লঘিষ্ঠ গণন (mm)
0.5	14	0.01

দৃশ্যকল্প-২: ঘনক আকৃতির একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য 8 cm। দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 5%।

স্ক্রু গজের বৃত্তাকার স্কেল একবার পূর্ণ ঘুরলে স্ক্রুটি রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে স্ক্রু গজের পিচ বলে।

মাত্রা সমীকরণ দিয়ে কোনো ভৌত সমীকরণের মাত্রাগত সমসত্ত্বতা যাচাই করা যায়, এক পদ্ধতির একক থেকে অন্য পদ্ধতির এককে রাশির মান রূপান্তর করা যায় এবং সংশ্লিষ্ট ভৌত রাশিগুলোর মধ্যে সম্ভাব্য সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়। তবে এটি মাত্রাহীন ধ্রুবকের মান বা যোগ-বিয়োগযুক্ত পূর্ণ সমীকরণ নির্ধারণ করতে পারে না।

রৈখিক স্কেলের পাঠ = 0.5 mm

বৃত্তাকার স্কেলের সমাপতন = 14 ভাগ

লঘিষ্ঠ গণন = 0.01 mm

তারের ব্যাস, d = রৈখিক স্কেল পাঠ + বৃত্তাকার স্কেল পাঠ

= 0.5 + 14 × 0.01

= 0.64 mm

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = πd²/4

= π × (0.64)²/4

= 0.1024π mm²

= 0.322 mm² প্রায়

অতএব, তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল প্রায় 0.322 mm²।

ঘনকের পরিমাপকৃত বাহু, l = 8 cm

দৈর্ঘ্যে আপেক্ষিক ত্রুটি = 5%

চূড়ান্ত ত্রুটি, Δl = 8 × 5/100 = 0.4 cm

পরিমাপকৃত আয়তন, V = 8³ = 512 cm³

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, Vₘₐₓ = (8 + 0.4)³ = 592.704 cm³

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, Vₘᵢₙ = (8 - 0.4)³ = 438.976 cm³

ঊর্ধ্বসীমার ত্রুটি = 592.704 - 512 = 80.704 cm³

নিম্নসীমার ত্রুটি = 512 - 438.976 = 73.024 cm³

বড় মানটি গ্রহণ করে, শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = (80.704/512) × 100%

= 15.76% প্রায়

অতএব, আয়তন পরিমাপে সর্বোচ্চ শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি প্রায় 15.76%; ক্ষুদ্র ত্রুটির আনুমানিক সূত্রে এটি 3 × 5% = 15%।

৫. নিচের চিত্রটি লক্ষ্য কর।

কোনো ভৌত রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিগুলোকে যে ঘাতে উন্নীত করলে রাশিটির প্রকৃতি প্রকাশ পায়, সেই ঘাতগুলোকে ঐ ভৌত রাশির মাত্রা বলে।

স্ক্রু গজের ন্যূনাঙ্ক 0.01 mm বলতে বোঝায়, যন্ত্রটি দিয়ে নির্ভরযোগ্যভাবে পরিমাপযোগ্য ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্য 0.01 mm। অর্থাৎ বৃত্তাকার স্কেলের এক ভাগ ঘুরলে স্ক্রুর অগ্রভাগ 0.01 mm সরণ করে।

চিত্রে দৈর্ঘ্য নিকটতম 1 cm পর্যন্ত দেওয়া আছে, তাই সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি, Δl = 0.5 cm।

পরিমাপকৃত বাহু, l = 15 cm

পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল, A = l² = 15² = 225 cm²

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল, Aₘₐₓ = (15 + 0.5)² = 240.25 cm²

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল, Aₘᵢₙ = (15 - 0.5)² = 210.25 cm²

সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি, ΔA = 240.25 - 225 = 15.25 cm²

ক্ষেত্রফলে আপেক্ষিক ত্রুটি = ΔA/A = 15.25/225 = 0.0678

অতএব, চিত্র P-এর ক্ষেত্রফলে আপেক্ষিক ত্রুটি প্রায় 0.068 বা 6.78%।

চিত্রে দৈর্ঘ্যগুলো নিকটতম 1 cm পর্যন্ত দেওয়া আছে, তাই প্রতিটি মাত্রায় সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি 0.5 cm।

পরিমাপকৃত আয়তন, V = 15 × 10 × 5 = 750 cm³

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, Vₘₐₓ = 15.5 × 10.5 × 5.5 = 895.125 cm³

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, Vₘᵢₙ = 14.5 × 9.5 × 4.5 = 619.875 cm³

ঊর্ধ্বসীমার ত্রুটি = 895.125 - 750 = 145.125 cm³

নিম্নসীমার ত্রুটি = 750 - 619.875 = 130.125 cm³

বড় মানটি গ্রহণ করে, ΔV = 145.125 cm³

শতকরা ত্রুটি = (ΔV/V) × 100%

= (145.125/750) × 100%

= 19.35%

অতএব, চিত্র Q-এর আয়তন পরিমাপে প্রায় 19.35% ত্রুটি আছে।

৬. একটি সাধারণ স্কেলে দণ্ডের দৈর্ঘ্য 18 mm পাওয়া গেল। উক্ত দণ্ডটিকে 0.005 cm ভার্নিয়ার ধ্রুবকবিশিষ্ট একটি স্লাইড ক্যালিপার্সে পরিমাপ করে ভার্নিয়ার সমাপতন 14 পাওয়া গেল।

যে ভৌত রাশি অন্য কোনো ভৌত রাশির ওপর নির্ভরশীল নয় এবং যাকে স্বাধীনভাবে পরিমাপ করা যায়, তাকে মৌলিক রাশি বলে। যেমন— দৈর্ঘ্য, ভর ও সময়।

ক্ষমতা হলো একক সময়ে সম্পাদিত কাজের পরিমাণ। অর্থাৎ, P = W/t। কাজের মাত্রা ML²T⁻² এবং সময়ের মাত্রা T হওয়ায় ক্ষমতার মাত্রা ML²T⁻³। তাই ক্ষমতা মৌলিক রাশি নয়; ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের সমন্বয়ে গঠিত একটি লব্ধ রাশি।

সাধারণত স্লাইড ক্যালিপার্সের প্রধান স্কেলের এক ঘরের মান, 1 MSD = 1 mm = 0.1 cm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.005 cm

ভার্নিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যা n হলে,

VC = 1 MSD/n

n = 1 MSD/VC

= 0.1/0.005

= 20

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলে 20টি ঘর আছে।

প্রধান স্কেল পাঠ, MSR = 18 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.005 cm = 0.05 mm

ভার্নিয়ার সমাপতন, V = 14

ভার্নিয়ার পাঠ = V × VC

= 14 × 0.05

= 0.70 mm

দণ্ডের দৈর্ঘ্য, L = MSR + ভার্নিয়ার পাঠ

= 18 + 0.70

= 18.70 mm

= 1.87 cm

অতএব, স্লাইড ক্যালিপার্সে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 18.70 mm বা 1.87 cm।

৭. একটি স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে একটি বস্তুর পরিমাপে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা পাওয়া গেল যথাক্রমে 20 cm, 10 cm এবং 10 cm. প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ঘরের মান 1 mm এবং ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.05 mm. বস্তুটিকে প্রস্থ বরাবর সমদ্বিখণ্ডিত করে খণ্ডিত অংশটুকুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে 5% আপেক্ষিক ত্রুটি পাওয়া গেল

স্ক্রু-গজের স্ক্রুকে একবার পূর্ণ ঘোরালে স্ক্রুটি সরলরেখা বরাবর যতটুকু অগ্রসর হয়, তাকে স্ক্রুর পিচ বলে।

মিটার স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ সাধারণত 1 mm; তাই এটি দিয়ে 1 mm-এর চেয়ে ছোট দৈর্ঘ্য সরাসরি নির্ভুলভাবে মাপা যায় না। স্লাইড ক্যালিপার্সে প্রধান স্কেলের সঙ্গে ভার্নিয়ার স্কেল যুক্ত থাকায় এর ন্যূনাঙ্ক বা ভার্নিয়ার ধ্রুবক অনেক ছোট—উদ্দীপকে 0.05 mm। ফলে এটি মিটার স্কেলের তুলনায় 1 ÷ 0.05 = 20 গুণ সূক্ষ্ম পাঠ দিতে পারে। তাই ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য, ব্যাস ও গভীরতা পরিমাপে স্লাইড ক্যালিপার্স অধিকতর উপযোগী।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান, S = 1 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.05 mm

ভার্নিয়ার স্কেলের ভাগসংখ্যা n হলে,

VC = S/n

অতএব, n = S/VC

= 1 mm ÷ 0.05 mm

= 20

সুতরাং, ভার্নিয়ার স্কেলে 20টি ভাগ আছে।

প্রস্থ বরাবর সমদ্বিখণ্ডিত করলে প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য 10 cm, প্রস্থ 10 cm এবং উচ্চতা 10 cm।

পরিমাপ করা আয়তন, V = 10 × 10 × 10 cm³

= 1000 cm³

দৈর্ঘ্যে 5% আপেক্ষিক ত্রুটি থাকলে দৈর্ঘ্যের চূড়ান্ত ত্রুটি,

Δl = 10-এর 5% cm

= 0.5 cm

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, Vₘₐₓ = 10.5 × 10 × 10 cm³

= 1050 cm³

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, Vₘᵢₙ = 9.5 × 10 × 10 cm³

= 950 cm³

আয়তনের চূড়ান্ত ত্রুটি, ΔV = 50 cm³

আয়তনের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = (ΔV/V) × 100%

= (50/1000) × 100%

= 5%

অতএব, শুধু দৈর্ঘ্যের পরিমাপে 5% ত্রুটি থাকায় খণ্ডিত অংশটির আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটিও 5%; এর কোনো পরিবর্তন হবে না।

৮. এক ব্যক্তি একটি উঁচু দালানের সামনে দাঁড়িয়ে 250 Hz কম্পাঙ্কবিশিষ্ট শব্দ উৎপন্ন করল। ঐ দিন বায়ুর তাপমাত্রা ছিল 35°C। শব্দ উৎপন্ন হওয়ার স্থান হতে দালানের দূরত্ব 17.5 m।

যে প্রক্রিয়ায় মাধ্যমের কণাগুলোর স্থায়ী স্থানান্তর না ঘটিয়ে কম্পনের মাধ্যমে এক স্থান থেকে অন্য স্থানে শক্তি সঞ্চালিত হয়, তাকে তরঙ্গ বলে।

বায়ুতে শব্দের বেগ প্রধানত বায়ুর তাপমাত্রা, ঘনত্ব ও আর্দ্রতার ওপর নির্ভর করে। তাপমাত্রা বাড়লে বেগ বাড়ে; আবার জলীয়বাষ্প বাড়লে বায়ুর গড় ঘনত্ব কমে বলে বেগ বাড়ে। পরিবেশে এসব রাশির পরিবর্তন হওয়ায় বায়ু মাধ্যমে শব্দের বেগের তারতম্য ঘটে।

0°C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ, v₀ = 330 m s⁻¹

T₀ = 273 K এবং T = 273 + 35 = 308 K

বায়ুতে v ∝ √T, তাই

v/v₀ = √(T/T₀)

v = 330 × √(308/273) m s⁻¹

= 350.516 m s⁻¹

কম্পাঙ্ক, f = 250 Hz

তরঙ্গ সমীকরণ, v = fλ

অতএব, λ = v/f

= 350.516/250 m

= 1.40206 m ≈ 1.402 m

সুতরাং, উৎপন্ন শব্দের তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রায় 1.402 m।

ব্যক্তি থেকে দালানের দূরত্ব, d = 17.5 m

35°C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ, v = 350.516 m s⁻¹

প্রতিফলিত শব্দের মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = 2d

প্রতিধ্বনি ফিরে আসার সময়, t = 2d/v

= (2 × 17.5)/350.516 s

= 0.09985 s

পৃথক প্রতিধ্বনি শোনার জন্য মূল ও প্রতিফলিত শব্দের ব্যবধান কমপক্ষে 0.1 s হওয়া দরকার। এখানে 0.09985 s < 0.1 s। অতএব, ব্যক্তি পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে না।

৯. দৃশ্যকল্প-১ : একজন ছাত্র পদার্থবিজ্ঞান ল্যাবে স্লাইড ক্যালিপার্স যন্ত্রে তার পরীক্ষাধীন বস্তুর মূল স্কেল পাঠ পান $5 \mathrm{~mm}$ ও ভার্নিয়ার স্কেল এর ৯ নং দাগ মূল স্কেলের দাগের সাথে মিলে যায়। এক্ষেত্রে $VC = 0.0001 \mathrm{~m}$।
দৃশ্যকল্প-২ : একটি বক্স মাপার জন্য যে রুলার ব্যবহার হয় সেখানে $cm$ দিয়ে দাগ দেওয়া। বক্সটির পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $10 \mathrm{~cm}$, $6 \mathrm{~cm}$ ও $5 \mathrm{~cm}$।

যে প্রাকৃতিক বা ভৌত বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করা যায় এবং সংখ্যামান ও এককের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়, তাকে ভৌত রাশি বলে; যেমন দৈর্ঘ্য, ভর ও সময়।

লব্ধ রাশি মৌলিক রাশিগুলোর গুণ, ভাগ বা ঘাতের সম্পর্ক থেকে সংজ্ঞায়িত হয়। যেমন বেগ = দৈর্ঘ্য/সময় এবং বল = ভর × ত্বরণ; তাই [v] = LT⁻¹ ও [F] = MLT⁻²। মৌলিক রাশি স্বাধীন ভিত্তি হিসেবে না থাকলে লব্ধ রাশির সংখ্যামান, একক বা মাত্রা নির্ধারণ করা যায় না।

মূল স্কেল পাঠ, MSR = 5 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.0001 m = 0.1 mm

সমাপতন সংখ্যা, n = 9

ভার্নিয়ার পাঠ = n × VC

= 9 × 0.1

= 0.9 mm

মোট পাঠ = MSR + ভার্নিয়ার পাঠ

= 5 + 0.9

= 5.9 mm

অতএব, ছাত্রের পাঠ 5.9 mm।

cm-দাগাঙ্কিত রুলারের ক্ষুদ্রতম ভাগ 1 cm; তাই প্রতিটি দৈর্ঘ্যের সর্বোচ্চ ত্রুটি ±0.5 cm।

পরিমাপকৃত আয়তন,

V = 10 × 6 × 5 = 300 cm³

সর্বোচ্চ সম্ভাব্য আয়তন,

Vₘₐₓ = 10.5 × 6.5 × 5.5

= 375.375 cm³

ঊর্ধ্ব ত্রুটি = 375.375 − 300 = 75.375 cm³

সর্বনিম্ন সম্ভাব্য আয়তন,

Vₘᵢₙ = 9.5 × 5.5 × 4.5

= 235.125 cm³

নিম্ন ত্রুটি = 300 − 235.125 = 64.875 cm³

বৃহত্তর পরম ত্রুটি 75.375 cm³ ধরলে আপেক্ষিক শতকরা ত্রুটি,

= (75.375/300) × 100%

= 25.125%

অতএব, বক্সটির আপেক্ষিক ত্রুটি 40% নয়; সর্বোচ্চ ত্রুটি প্রায় 25.13%।

১০. ‘A’ থেকে ‘B’-এর দূরত্ব 1350 m। একটি গাড়ির 1 মিনিটের বেগ, দূরত্ব ও সময়ের তালিকা নিচে দেওয়া হলো। বেগ (m s⁻¹): 0, 10, 20, 30, 30, 30, 30; সময় (s): 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60। 40 s থেকে 60 s পর্যন্ত অতিক্রান্ত দূরত্ব x।

কোনো রাশি পরিমাপের সময় সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ত্রুটিকে চূড়ান্ত ত্রুটি বলে।

দ্রুতি একক সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং এটি স্কেলার রাশি; এর শুধু মান আছে। বেগ একক সময়ে নির্দিষ্ট দিকে সরণ এবং এটি ভেক্টর রাশি; এর মান ও দিক দুটিই আছে। দিক একক বা মাত্রাকে প্রভাবিত করে না বলে উভয়ের SI একক m s⁻¹ এবং মাত্রা LT⁻¹ হলেও রাশি দুটি ভিন্ন।

40 s থেকে 60 s পর্যন্ত গাড়িটির বেগ ধ্রুব 30 m s⁻¹।

সময়, t = 60 − 40 = 20 s।

অতএব, x = vt

= 30 × 20

= 600 m।

আদিবেগ u = 0, গড় ত্বরণ a = 0.75 m s⁻² এবং সময় t = 60 s।

অতিক্রান্ত দূরত্ব,

s = ut + ½at²

= 0 + ½ × 0.75 × 60²

= 1350 m।

A থেকে B-এর দূরত্বও 1350 m। তাই উল্লিখিত 60 s সময়ে গাড়িটি ঠিক B স্থানে পৌঁছাতে পারবে।

১১. একজন শিক্ষার্থী স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে একটি ঘনকের সঠিক আয়তন পরিমাপের জন্য দৈর্ঘ্য $2.56 \mathrm{~cm}$ পেলো। পরিমাপে মূল স্কেল পাঠ $2.5 \mathrm{~cm}$ এবং ভার্নিয়ার সমপাতন $12$। ত্রুটির সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য মান $1\%$।

স্ক্রু-গজের স্ক্রুটি একবার পূর্ণ ঘোরালে রৈখিক স্কেল বরাবর যতটুকু সরণ করে, তাকে স্ক্রুর পিচ বলে।

সাধারণ ঘড়ির ক্ষুদ্রতম ভাগ সাধারণত 1 s এবং শুরু–বন্ধ করার পৃথক নিয়ন্ত্রণ নেই। স্টপওয়াচে ক্ষুদ্রতর সময়-বিভাগ থাকে এবং কোনো ঘটনার শুরুতে চালু ও শেষে থামিয়ে সরাসরি সময় ব্যবধান মাপা যায়। তাই স্বল্প সময় পরিমাপে এর ন্যূনাঙ্ক ও ব্যবহারিক নির্ভুলতা সাধারণ ঘড়ির চেয়ে বেশি।

স্লাইড ক্যালিপার্সের পাঠ, L = M + n × VC।

দেওয়া আছে, L = 2.56 cm, M = 2.50 cm এবং n = 12।

VC = (L − M)/n

= (2.56 − 2.50)/12

= 0.005 cm

= 0.05 mm।

অতএব ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.005 cm বা 0.05 mm।

ঘনকের বাহু a = 2.56 cm এবং সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি Δa = VC = 0.005 cm।

ঘনকের আয়তন, V = a³ = 2.56³ ≈ 16.78 cm³।

আয়তনের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি,

ΔV/V = 3Δa/a

= 3 × 0.005/2.56

≈ 0.00586।

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি ≈ 0.586%।

যেহেতু 0.586% < গ্রহণযোগ্য সর্বোচ্চ 1%, শিক্ষার্থীর আয়তন পরিমাপটি যথেষ্ট গ্রহণযোগ্য।

১২. স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে প্রধান স্কেলের পাঠ 9.96 cm এবং ভার্নিয়ার সমাপতন 8 পাওয়া গেল। যন্ত্রটির প্রধান স্কেলের 19 দাগ ভার্নিয়ার স্কেলের 20 দাগের সমান। উক্ত যন্ত্রের সাহায্যে বস্তুটির প্রস্থ নির্ণয় করে মান পাওয়া গেল 8 cm। পরিমাপে 5% আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে।

বস্তু যে ধর্মের কারণে তার স্থির অবস্থা বা সমবেগে সরলরেখায় গতির অবস্থা পরিবর্তনের বিরোধিতা করে, তাকে জড়তা বলে।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রে F = ma। এখানে ভর মৌলিক রাশি হলেও ত্বরণ একটি লব্ধ রাশি; ত্বরণকে দৈর্ঘ্য ও সময়ের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়। তাই বলও ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের ওপর নির্ভরশীল একটি লব্ধ রাশি।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান s = ১ mm এবং ভার্নিয়ার ভাগসংখ্যা n = ২০।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = s/n = ১/২০ = ০.০৫ mm।

প্রধান স্কেলের পাঠ M = ৯.৯৬ cm = ৯৯.৬ mm এবং ভার্নিয়ার সমাপতন V = ৮। তাই বস্তুর দৈর্ঘ্য,

L = M + V × VC

= ৯৯.৬ + ৮ × ০.০৫

= ১০০ mm = ১০ cm।

পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য l = ১০ cm এবং প্রস্থ b = ৮ cm। তাই ক্ষেত্রফল,

A = lb = ১০ × ৮ = ৮০ cm²।

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ—উভয় পরিমাপে ৫% আপেক্ষিক ত্রুটি থাকলে সর্বোচ্চ মান,

lmax = ১০ × ১.০৫ = ১০.৫ cm

bmax = ৮ × ১.০৫ = ৮.৪ cm।

তাই Amax = ১০.৫ × ৮.৪ = ৮৮.২ cm²।

সর্বনিম্ন মান,

lmin = ১০ × ০.৯৫ = ৯.৫ cm

bmin = ৮ × ০.৯৫ = ৭.৬ cm

এবং Amin = ৯.৫ × ৭.৬ = ৭২.২ cm²।

সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি,

ΔA = max(|৮৮.২ − ৮০|, |৮০ − ৭২.২|) = ৮.২ cm²।

ক্ষেত্রফলের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি,

ΔA/A × ১০০% = ৮.২/৮০ × ১০০% = ১০.২৫%।

যেহেতু ১০.২৫% > গ্রহণযোগ্য ৮%, ক্ষেত্রফলের পরিমাপটি গ্রহণযোগ্য নয়।

১৩. সাব্বিরের বাসা থেকে বিদ্যালয়ের দূরত্ব 1.8 km। সে সাইকেলে বিদ্যালয়ে যাওয়ার সময় প্রথম 30 s সমত্বরণে চলে 12 m s⁻¹ বেগ লাভ করে। পরবর্তী 1.5 km সমবেগে চলে এবং শেষ 20 s সমমন্দনে চলে স্থির হয়।

যে ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করতে মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় এবং যা ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে, তাকে ভেক্টর রাশি বলে।

ঘড়ির পেন্ডুলাম নির্দিষ্ট সময় পরপর একই অবস্থায় একই গতিমুখে ফিরে আসে বলে এর গতি পর্যায়বৃত্ত। আবার এটি সাম্যাবস্থার দুই পাশে পর্যায়ক্রমে সামনে-পেছনে চলাচল করে বলে এর গতি স্পন্দন গতিও।

সমমন্দন পর্যায়ে আদিবেগ u = ১২ m s⁻¹, শেষ বেগ v = ০ এবং সময় t = ২০ s।

v = u + at

০ = ১২ + a × ২০

a = −০.৬ m s⁻²।

অতএব, মন্দনের মান ০.৬ m s⁻²।

প্রথম ৩০ s-এ,

a₁ = (১২ − ০)/৩০ = ০.৪ m s⁻²।

এই পর্যায়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

s₁ = ut + ½at²

= ০ + ½ × ০.৪ × ৩০²

= ১৮০ m।

সমবেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব s₂ = ১.৫ km = ১৫০০ m।

শেষ ২০ s-এ a₃ = −০.৬ m s⁻²। তাই,

s₃ = ১২ × ২০ + ½ × (−০.৬) × ২০²

= ১২০ m।

মোট দূরত্ব,

s = ১৮০ + ১৫০০ + ১২০ = ১৮০০ m = ১.৮ km।

এটি বাসা থেকে বিদ্যালয়ের দূরত্বের সমান। অতএব, সাব্বির বিদ্যালয়ে পৌঁছেছিল।

১৪.

স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে আয়তাকার একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ পরিমাপের পাঠ :

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১ ঘর = $1 \mathrm{~mm}$।

যে ভৌত রাশি এক বা একাধিক মৌলিক রাশির সাহায্যে প্রকাশ করা যায়, তাকে লব্ধ রাশি বলে। যেমন ক্ষেত্রফল, আয়তন, বেগ ও বল।

কেবল কোনো রাশির সংখ্যামান বললে তার পরিমাণ সুনির্দিষ্ট হয় না। একই রাশির পরিমাণ বিভিন্ন এককে ভিন্ন সংখ্যায় প্রকাশিত হতে পারে। একটি স্বীকৃত আদর্শ মানের সঙ্গে তুলনা করে সংখ্যামানসহ একক লিখলেই পরিমাপটি অর্থপূর্ণ, তুলনাযোগ্য ও সর্বজনবোধ্য হয়। তাই পরিমাপ প্রকাশে একক প্রয়োজন।

দৈর্ঘ্যের পাঠ,

X = প্রধান স্কেল পাঠ + (ভার্নিয়ার সমপাতন × ভার্নিয়ার ধ্রুবক)

= 20 + 6 × 0.05

= 20.30 mm

প্রস্থের পাঠ,

Y = 10 + 8 × 0.05

= 10.40 mm

আয়তাকার বস্তুটির ক্ষেত্রফল,

A = XY

= 20.30 × 10.40

= 211.12 mm²

অতএব বস্তুটির ক্ষেত্রফল 211.12 mm²।

শুধু প্রধান স্কেল দ্বারা পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 mm ও 10 mm। তাই পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল,

A = 20 × 10

= 200 mm²

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ 1 mm হলে প্রতিটি পাঠের চূড়ান্ত ত্রুটি ±0.5 mm।

সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল,

A_max = (20 + 0.5)(10 + 0.5)

= 20.5 × 10.5

= 215.25 mm²

সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল,

A_min = (20 − 0.5)(10 − 0.5)

= 19.5 × 9.5

= 185.25 mm²

ঊর্ধ্ব ত্রুটি = 215.25 − 200 = 15.25 mm²

নিম্ন ত্রুটি = 200 − 185.25 = 14.75 mm²

বৃহত্তর মান অনুযায়ী চূড়ান্ত ত্রুটি 15.25 mm²।

আপেক্ষিক ত্রুটি,

= 15.25/200

= 0.07625

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 7.625%

অতএব প্রধান স্কেলে ক্ষেত্রফল 200 mm² এবং এর সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি 0.07625 বা 7.625%।

১৫. শিক্ষক বিজ্ঞানাগারে শিক্ষার্থীদের নিয়ে যান্ত্রিক ত্রুটিমুক্ত দুটি স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি তারের ব্যাস নির্ণয় করে ১ম যন্ত্রে মূল স্কেলের পাঠ পেলেন $1.6 \mathrm{~cm}$; তারের ব্যাস পেলেন ১ম ও ২য় যন্ত্রে যথাক্রমে $1.65 \mathrm{~cm}$ এবং $1.655 \mathrm{~cm}$। ১ম ও ২য় স্কেলে ভার্নিয়ার ভাগ সংখ্যা যথাক্রমে $10$ ও $20$।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান এবং ভার্নিয়ার স্কেলের এক ভাগের মানের পার্থক্যকে ভার্নিয়ার ধ্রুবক বলে। অর্থাৎ VC = 1 MSD − 1 VSD।

বস্তুর ওজন W = mg। এখানে ভর m একটি মৌলিক রাশি এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ g দৈর্ঘ্য ও সময়ের সাহায্যে প্রকাশিত লব্ধ রাশি। তাই ওজনের মাত্রা [W] = [M][LT⁻²] = MLT⁻²; অর্থাৎ মৌলিক রাশিগুলোর সমন্বয়ে ওজন প্রকাশিত হয়। তাই ওজন একটি লব্ধ রাশি।

১ম যন্ত্রে প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান 0.1 cm এবং ভার্নিয়ার ভাগসংখ্যা 10।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC₁ = 0.1/10 = 0.01 cm।

মোট পাঠ, L = M + n × VC₁।

1.65 = 1.60 + n × 0.01

n = (1.65 − 1.60)/0.01 = 5।

অতএব ১ম স্লাইড ক্যালিপার্সে ভার্নিয়ার সমপাতন 5।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ 0.1 cm হলে ১ম যন্ত্রের ভার্নিয়ার ধ্রুবক VC₁ = 0.1/10 = 0.01 cm এবং ২য় যন্ত্রের VC₂ = 0.1/20 = 0.005 cm।

অতএব ২য় যন্ত্রটি ১মটির তুলনায় অর্ধেক ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যও শনাক্ত করতে পারে; অর্থাৎ তার সূক্ষ্মতা দ্বিগুণ। তারের ব্যাসের পার্থক্য = 1.655 − 1.650 = 0.005 cm, যা ২য় যন্ত্রের এক ন্যূনাঙ্ক কিন্তু ১ম যন্ত্রের ন্যূনাঙ্কের অর্ধেক।

দুটি যন্ত্রই যান্ত্রিক ত্রুটিমুক্ত হলেও ন্যূনাঙ্ক বা রেজল্যুশন ভিন্ন হওয়ায় ১ম যন্ত্র অতিরিক্ত 0.005 cm পৃথকভাবে ধরতে পারে না, কিন্তু ২য় যন্ত্র পারে। তাই পাঠদ্বয়ের ভিন্নতা হয়েছে।

১৬. ভার্নিয়ার স্কেলের সাহায্যে ঘনকাকৃতি একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে প্রধান স্কেল পাঠ 7 cm এবং প্রকৃত পাঠ 7.05 cm পাওয়া গেল। ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.02 mm। দৈর্ঘ্য পরিমাপে ত্রুটি 4%।

স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার স্কেল একবার পূর্ণ ঘুরালে স্ক্রুটি রৈখিকভাবে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে স্ক্রু-গজের পিচ বলে।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক যন্ত্রের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ এবং ভার্নিয়ার স্কেলের ভাগসংখ্যার ওপর নির্ভর করে। সরল ভার্নিয়ারে, ভার্নিয়ার ধ্রুবক = ১ MSD − ১ VSD। বিভিন্ন যন্ত্রে MSD ও ভার্নিয়ার ভাগসংখ্যা ভিন্ন হতে পারে বলে ভার্নিয়ার ধ্রুবকের মানও নির্দিষ্ট নয়।

প্রকৃত পাঠ = প্রধান স্কেল পাঠ + ভার্নিয়ার সমপাতন × ভার্নিয়ার ধ্রুবক।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক = ০.০২ mm = ০.০০২ cm।

অতএব, ভার্নিয়ার সমপাতন

= (৭.০৫ − ৭.০০)/০.০০২

= ২৫।

অর্থাৎ ভার্নিয়ার স্কেলের ২৫তম দাগটি প্রধান স্কেলের কোনো দাগের সঙ্গে মিলে গেছে।

ঘনকের মাপা বাহু l = ৭.০৫ cm এবং দৈর্ঘ্যের সর্বোচ্চ ত্রুটি ৪%।

Δl = ০.০৪ × ৭.০৫ = ০.২৮২ cm।

মাপা আয়তন, V = l³ = ৭.০৫³ = ৩৫০.৪০২ cm³।

সর্বোচ্চ সম্ভাব্য বাহু = ৭.০৫ + ০.২৮২ = ৭.৩৩২ cm।

সর্বোচ্চ সম্ভাব্য আয়তন = ৭.৩৩২³ ≈ ৩৯৪.১৫১ cm³।

অতএব আয়তনের সর্বোচ্চ শতকরা ত্রুটি

= (৩৯৪.১৫১ − ৩৫০.৪০২)/৩৫০.৪০২ × ১০০%

≈ ১২.৪৮%।

ক্ষুদ্র ত্রুটির আনুমানিক সূত্র ΔV/V = ৩Δl/l থেকেও প্রায় ১২% পাওয়া যায়।

১৭. স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি গোলকের ব্যাস পরিমাপে প্রধান স্কেল পাঠ 6.5 cm, ভার্নিয়ার সমপাতন 7 পাওয়া গেলো। ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.05 mm। অপরদিকে মিটার স্কেলের সাহায্যে একটি সরল দোলকের সুতার দৈর্ঘ্য 90 cm পরিমাপ করা হলো।

কোনো ভৌত রাশি পরিমাপের জন্য একই জাতীয় যে নির্দিষ্ট ও সুবিধাজনক পরিমাণকে প্রমাণ ধরে রাশিটির মান প্রকাশ করা হয়, তাকে পরিমাপের একক বলে।

ভর হলো বস্তুর পদার্থের পরিমাণ ও জড়তার পরিমাপ; এটি স্কেলার, একক kg এবং স্থানভেদে অপরিবর্তিত। ওজন হলো বস্তুর উপর মহাকর্ষীয় বল, W = mg; এটি ভেক্টর, একক N এবং g বদলালে স্থানভেদে বদলায়। তাই ভর ও ওজন একই রাশি নয়।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক = 0.05 mm = 0.005 cm।

গোলকের ব্যাস, d = 6.5 + 7 × 0.005 = 6.535 cm।

ব্যাসার্ধ, r = 3.2675 cm।

আয়তন, V = (4/3)πr³ = (π/6)d³ ≈ 146.13 cm³।

অতএব গোলকটির আয়তন প্রায় 146.13 cm³।

সরল দোলকের দোলনকাল, T = 2π√(l/g)।

এখানে g ধ্রুব হলে, T ∝ l¹ᐟ²।

অতএব ΔT/T = ½ × Δl/l।

দৈর্ঘ্যের আপেক্ষিক ত্রুটি 2% হলে, দোলনকালের আপেক্ষিক ত্রুটি = ½ × 2% = 1%।

১৮. একটি গোলাকার বস্তুর ব্যাসার্ধ 1.5 cm। স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে এর ব্যাস পরিমাপ করে 3.2 cm পাওয়া গেল। বস্তুটিকে ভূমি থেকে 54 m s⁻¹ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে এটি নির্দিষ্ট সময় পরে ভূপৃষ্ঠে পতিত হয়।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান ও ভার্নিয়ার স্কেলের এক ভাগের মানের পার্থক্যকে ভার্নিয়ার ধ্রুবক বলে। অর্থাৎ, ভার্নিয়ার ধ্রুবক = ১ MSD − ১ VSD।

বেগ একটি ভেক্টর রাশি; সুষম বেগে এর মান ও দিক উভয়ই অপরিবর্তিত থাকে। বক্রপথে চললে প্রতি মুহূর্তে গতির দিক বদলায়, ফলে বেগও বদলে যায় এবং ত্বরণ সৃষ্টি হয়। তাই সুষম বেগে চলমান বস্তুর গতিপথ কেবল সরলরৈখিক হতে পারে।

বস্তুর প্রকৃত ব্যাস,

d = ২r = ২ × ১.৫ = ৩.০ cm

পরিমাপ করা ব্যাস d′ = ৩.২ cm। তাই চূড়ান্ত ত্রুটির মান,

Δd = |d′ − d| = |৩.২ − ৩.০| = ০.২ cm

আপেক্ষিক ত্রুটি = Δd/d = ০.২/৩.০ = ০.০৬৬৭।

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = ০.০৬৬৭ × ১০০% = ৬.৬৭%।

নিক্ষেপণ বেগ u = ৫৪ m s⁻¹ এবং h = ৭০ m। ঊর্ধ্বমুখী দিক ধনাত্মক ধরে,

h = ut − ½gt²

৭০ = ৫৪t − ½ × ৯.৮t²

৪.৯t² − ৫৪t + ৭০ = ০

t = [৫৪ ± √(৫৪² − ৪ × ৪.৯ × ৭০)]/(২ × ৪.৯)

= (৫৪ ± ৩৯.২৯)/৯.৮

তাই t₁ ≈ ১.৫০ s এবং t₂ ≈ ৯.৫২ s।

v = u − gt থেকে,

v₁ = ৫৪ − ৯.৮ × ১.৫০ ≈ +৩৯.৩ m s⁻¹

v₂ = ৫৪ − ৯.৮ × ৯.৫২ ≈ −৩৯.৩ m s⁻¹।

অতএব, বস্তুটি ৭০ m উচ্চতায় প্রথমবার ঊর্ধ্বমুখী ৩৯.৩ m s⁻¹ এবং দ্বিতীয়বার নিম্নমুখী ৩৯.৩ m s⁻¹ বেগে দেখা যাবে।

১৯. একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার স্কেলের 40 ঘরের মান প্রধান স্কেলের 39 ঘরের মানের সমান। স্কেলটির সাহায্যে একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $8 \mathrm{~cm}$, $6 \mathrm{~cm}$ ও $4 \mathrm{~cm}$ পাওয়া গেলো। পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি $5\%$।

কোনো পরিমাপক যন্ত্র দিয়ে নির্ভরযোগ্যভাবে মাপা সম্ভব এমন ক্ষুদ্রতম মানকে যন্ত্রটির ন্যূনাঙ্ক বা লঘিষ্ঠ গণন বলে।

ক্ষমতা হলো কাজ করার হার,

P = W/t = Fs/t

বল F = ma বসালে,

P = mas/t

অতএব ক্ষমতার মাত্রা,

[P] = MLT⁻² × L × T⁻¹

= ML²T⁻³

ক্ষমতা ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়—এই মৌলিক রাশিগুলোর সাহায্যে প্রকাশিত হয়। তাই ক্ষমতা একটি লব্ধ রাশি।

40 VSD = 39 MSD

1 MSD = 1 mm হলে,

1 VSD = 39/40 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 MSD − 1 VSD

= 1 − 39/40

= 1/40 mm

= 0.025 mm

অতএব, স্কেলটির ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.025 mm বা 0.0025 cm।

পরিমাপকৃত আয়তন,

V = 8 × 6 × 4

= 192 cm³

প্রতিটি দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 5% হলে সর্বোচ্চ মাত্রাগুলো,

lₘₐₓ = 8 × 1.05 = 8.4 cm

bₘₐₓ = 6 × 1.05 = 6.3 cm

hₘₐₓ = 4 × 1.05 = 4.2 cm

সর্বোচ্চ আয়তন,

Vₘₐₓ = 8.4 × 6.3 × 4.2

= 222.264 cm³

ঊর্ধ্ব ত্রুটি = 222.264 − 192 = 30.264 cm³

একইভাবে সর্বনিম্ন মাত্রা 7.6 cm, 5.7 cm ও 3.8 cm হলে,

Vₘᵢₙ = 7.6 × 5.7 × 3.8

= 164.616 cm³

নিম্ন ত্রুটি = 192 − 164.616 = 27.384 cm³

বৃহত্তর ত্রুটি 30.264 cm³ ধরলে আয়তনের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক শতকরা ত্রুটি,

= (30.264/192) × 100%

= 15.7625%

অতএব, আয়তনটি 192 cm³ হলেও এতে সর্বোচ্চ প্রায় 15.76% ত্রুটি থাকতে পারে; তাই পরিমাপকৃত আয়তন যথাযথ বা ত্রুটিমুক্ত নয়।

২০. ১ম গাড়ির বেগ–সময় লেখচিত্রে (t, v) বিন্দুগুলো (0 s, 0), (10 s, 30 m s⁻¹), (20 s, 30 m s⁻¹), (30 s, 0)। ২য় গাড়ির 5 s পরপর বেগ: সময় (s)—0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40; বেগ (m s⁻¹)—0, 2, 4, 6, 6, 6, 4, 2, 0।

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে কোনো বস্তুর ঘুরে চলার গতিকে ঘূর্ণন গতি বলে।

সাধারণ স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার ধ্রুবক প্রায় 0.1 mm, কিন্তু স্ক্রু-গজের লঘিষ্ঠ গণন প্রায় 0.01 mm। তারের ব্যাস খুব ছোট হওয়ায় স্ক্রু-গজ দশ গুণ বেশি সূক্ষ্মভাবে তা পরিমাপ করতে পারে। তাই তারের ব্যাস পরিমাপে স্ক্রু-গজ অধিক গ্রহণযোগ্য।

বেগ–সময় লেখের নিচের ক্ষেত্রফলই অতিক্রান্ত দূরত্ব।

প্রথম 15 s-এ,

s₁ = ½ × 15 × 6 = 45 m।

15 s থেকে 25 s পর্যন্ত,

s₂ = 10 × 6 = 60 m।

শেষ 15 s-এ,

s₃ = ½ × 15 × 6 = 45 m।

মোট দূরত্ব, s = 45 + 60 + 45 = 150 m।

১ম গাড়ির সর্বোচ্চ বেগ vmax = 30 m s⁻¹।

0–10 s-এ দূরত্ব,

s₁ = ½ × 10 × 30 = 150 m।

10–20 s-এ দূরত্ব,

s₂ = 10 × 30 = 300 m।

20–30 s-এ দূরত্ব,

s₃ = ½ × 10 × 30 = 150 m।

মোট দূরত্ব = 600 m এবং মোট সময় = 30 s।

গড়বেগ, vavg = 600/30 = 20 m s⁻¹।

যেহেতু 20 m s⁻¹ ≠ 30 m s⁻¹, সম্পূর্ণ পথের গড়বেগ সর্বোচ্চ বেগের সমান নয়।

২১. উদ্দীপকটি পড়ো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও

একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের দৈর্ঘ্য 1 mm এবং ভার্নিয়ার স্কেলের ভাগসংখ্যা 20। এটি দিয়ে একটি গোলকের ব্যাস 4.06 cm মাপা হলো। ব্যাস পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 1%।

স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার স্কেল এক ভাগ ঘোরালে তার প্রান্ত যতটুকু সরণ করে, তাকে স্ক্রু-গজের ন্যূনাঙ্ক বলে।

ন্যূনাঙ্ক = স্ক্রুর পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা।

মাত্রা বিশ্লেষণ দিয়ে কোনো ভৌত সমীকরণের দুই পাশের মাত্রা সমান কি না পরীক্ষা করে সমীকরণের মাত্রাগত শুদ্ধতা যাচাই করা যায়। এটি বিভিন্ন ভৌত রাশির মধ্যে সম্ভাব্য সম্পর্ক নির্ণয় এবং এক একক-পদ্ধতি থেকে অন্য একক-পদ্ধতিতে রাশির মান রূপান্তরেও সহায়তা করে। তবে মাত্রাহীন ধ্রুবকের মান বা একই মাত্রার পদযুক্ত সমীকরণের পূর্ণ শুদ্ধতা এটি নির্ণয় করতে পারে না।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 mm/20

= 0.05 mm

= 0.005 cm।

পরিমাপ 4.06 cm-এ মূল স্কেল পাঠ = 4.00 cm ধরলে ভার্নিয়ার অংশের পাঠ,

= 4.06 − 4.00

= 0.06 cm।

ভার্নিয়ার সমপাতন n হলে,

n × 0.005 = 0.06

অতএব n = 12।

শূন্য ত্রুটি না থাকলে ভার্নিয়ার স্কেলের 12তম দাগ মূল স্কেলের কোনো দাগের সঙ্গে মিলে যায়।

গোলকের আয়তন,

V = (π/6)d³।

লগারিদমিক অন্তরীকরণ বা সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটির নিয়মে,

ΔV/V = 3Δd/d।

উভয় পাশে 100% গুণ করলে,

আয়তনের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 3 × ব্যাসের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি

= 3 × 1%

= 3%।

অতএব গোলকের আয়তন পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটি ব্যাস পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটির তিনগুণ।

২২. উদ্দীপকটি পড়ো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের মান ও ভার্নিয়ার স্কেলের এক ভাগের মানের পার্থক্যকে ভার্নিয়ার ধ্রুবক বলে। অর্থাৎ, ভার্নিয়ার ধ্রুবক = ১ MSD − ১ VSD।

নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বল মানে সমান ও দিকে বিপরীত হলেও তারা দুটি ভিন্ন বস্তুর ওপর ক্রিয়া করে। যেমন, হাত দেয়ালকে ঠেললে হাত দেয়ালের ওপর ক্রিয়া বল এবং দেয়াল হাতের ওপর প্রতিক্রিয়া বল দেয়। তাই বল দুটি একই বস্তুর ওপর ক্রিয়া করে পরস্পরকে বাতিল করে না।

বেগ–সময় লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফলই অতিক্রান্ত দূরত্ব।

০–২০ s-এ দূরত্ব = ½ × (০ + ৮) × ২০ = ৮০ m

২০–৩০ s-এ দূরত্ব = ৮ × ১০ = ৮০ m

৩০–৪০ s-এ দূরত্ব = ½ × (৮ + ৪) × ১০ = ৬০ m

মোট দূরত্ব = ৮০ + ৮০ + ৬০ = ২২০ m।

সারণির বিন্দুগুলো বসিয়ে সংযুক্ত করলে সংযুক্ত বেগ–সময় লেখচিত্রটি পাওয়া যায়।

০–২০ s: বেগ ০ থেকে ৮ m s⁻¹-এ সমান হারে বেড়েছে। ত্বরণ, a = (৮ − ০)/২০ = ০.৪ m s⁻²; তাই এটি সুষম ত্বরণে গতি।

২০–৩০ s: বেগ ৮ m s⁻¹ ধ্রুব; তাই ত্বরণ শূন্য এবং গতি সুষম।

৩০–৪০ s: বেগ ৮ থেকে ৪ m s⁻¹-এ সমান হারে কমেছে। a = (৪ − ৮)/১০ = −০.৪ m s⁻²; তাই এটি সুষম মন্দনে গতি।

২৩. একজন শিক্ষার্থী স্লাইড ক্যালিপার্স ব্যবহার করে একটি বর্গাকার বস্তুর ক্ষেত্রফল পরিমাপে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে $12.52 \mathrm{~cm}$ পেলো। যন্ত্রটির প্রধান স্কেল পাঠ $12.5 \mathrm{~cm}$ এবং ভার্নিয়ার স্কেলের $50$ ঘর মূল স্কেলের $49$ ঘরের সমান। অপর একজন শিক্ষার্থী তারের ব্যাস পরিমাপ করে $2.5 \mathrm{~cm}$ পেলো।

কোনো ভৌত রাশিকে মৌলিক রাশিগুলোর সাহায্যে প্রকাশ করলে মৌলিক রাশিগুলো যে ঘাত বা সূচকে থাকে, সেই ঘাতগুলোকে ঐ ভৌত রাশির মাত্রা বলে।

ভর পরিমাপের সময় অজানা বস্তুর ভরকে আদর্শ বাটখারার জানা ভরের সঙ্গে তুলনা করা হয়। তুলাটি মূলত দুই পাশের ওজন বা মহাকর্ষীয় বলের সমতা নির্দেশ করে; জানা মানের সঙ্গে তুলনা করেই অজানা ভর পাওয়া যায়। তাই ভর সরাসরি নয়, তুলনামূলক বা পরোক্ষভাবে পরিমাপ করা হয়।

50 VSD = 49 MSD

1 MSD = 1 mm হলে,

1 VSD = 49/50 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 MSD − 1 VSD

= 1 − 49/50

= 1/50 mm

= 0.02 mm = 0.002 cm

মোট পাঠ = প্রধান স্কেল পাঠ + (ভার্নিয়ার সমপাতন × VC)

12.52 = 12.5 + n × 0.002

n = (12.52 − 12.5)/0.002

= 10

অতএব ভার্নিয়ার সমপাতন 10 নম্বর দাগে।

প্রথম শিক্ষার্থীর স্লাইড ক্যালিপার্সের ন্যূনাঙ্ক Δl = 0.002 cm। বর্গের বাহু l = 12.52 cm হলে,

A₁ = l² = 12.52² = 156.7504 cm²

ক্ষেত্রফলের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক শতকরা ত্রুটি,

ΔA₁/A₁ × 100% = 2Δl/l × 100%

= (2 × 0.002/12.52) × 100%

≈ 0.032%

দ্বিতীয় শিক্ষার্থীর 2.5 cm পাঠটি 0.1 cm পর্যন্ত লেখা হয়েছে ধরে Δd = 0.1 cm। তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A₂ = πd²/4 হলে,

ΔA₂/A₂ × 100% = 2Δd/d × 100%

= (2 × 0.1/2.5) × 100%

= 8%

অতএব এই প্রচলিত পাঠ-নির্ভুলতার ভিত্তিতে প্রথম শিক্ষার্থীর ক্ষেত্রফল পরিমাপ বেশি গ্রহণযোগ্য। তবে উদ্দীপকে দ্বিতীয় শিক্ষার্থীর যন্ত্র বা ন্যূনাঙ্ক দেওয়া নেই; তাই তার প্রকৃত ত্রুটি এবং তুলনাটি শর্তহীনভাবে নির্ণয় করা যায় না।

২৪. একটি গাড়ির সরণ–সময় লেখে O(0 s, 0 m), C(6 s, 45 m), D(10 s, 105 m) এবং E(14 s, 133 m)। OC অংশটি বক্র ও সমত্বরণ নির্দেশ করে; CD ও DE অংশ সরলরেখা।

কোনো ভৌত রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিগুলোর সূচককে ওই ভৌত রাশির মাত্রা বলে। যেমন, বেগের মাত্রা LT⁻¹।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক নির্ভর করে মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের দৈর্ঘ্য এবং ভার্নিয়ার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যার ওপর। বিভিন্ন স্লাইড ক্যালিপার্সে এই দুই মান এক নয়; ফলে তাদের ভার্নিয়ার ধ্রুবকও ভিন্ন হয়। তাই ভার্নিয়ার ধ্রুবক সার্বজনীন ধ্রুবক নয়।

OC অংশে O বিন্দুতে গাড়িটি স্থির, অর্থাৎ u = 0—এ শর্তটি ধরলে,

s = 45 m এবং t = 6 s।

s = ut + ½at²

45 = 0 + ½ × a × 6²

a = 2.5 m s⁻²।

C বিন্দুর বেগ,

vC = u + at

= 0 + 2.5 × 6

= 15 m s⁻¹।

অতএব, স্থিরাবস্থা থেকে OC অংশে সমত্বরণ ধরে C বিন্দুতে বেগ 15 m s⁻¹। শুধু sC = 45 m ও tC = 6 s থেকে আদিবেগ না জানলে তাৎক্ষণিক বেগ এককভাবে নির্ণেয় নয়; 45/6 = 7.5 m s⁻¹ হলো OC অংশের গড়বেগ।

OC অংশে O বিন্দুতে গাড়িটি স্থির ধরে (গ) থেকে aOC = +2.5 m s⁻²; তাই 0–6 s পর্যন্ত ত্বরণ ধ্রুব +2.5 m s⁻²।

CD অংশের ঢাল,

vCD = (105 − 45)/(10 − 6)

= 15 m s⁻¹।

CD সরলরেখা বলে 6–10 s পর্যন্ত aCD = 0।

DE অংশের ঢাল,

vDE = (133 − 105)/(14 − 10)

= 7 m s⁻¹।

DE-ও সরলরেখা বলে 10–14 s পর্যন্ত aDE = 0। কিন্তু t = 10 s-এ বেগ 15 m s⁻¹ থেকে 7 m s⁻¹-এ আকস্মিকভাবে বদলেছে; আদর্শ লেখে ওই মুহূর্তে সসীম ত্বরণ সংজ্ঞায়িত নয়। সংযুক্ত লেখে এই বৈজ্ঞানিক ব্যাখ্যাই দেখানো হয়েছে।

প্রশ্নে O-বিন্দুর আদিবেগ স্পষ্টভাবে দেওয়া নেই; তাই u = 0 না ধরলে OC অংশের ত্বরণ–সময় লেখ এককভাবে নির্ণেয় নয়।

২৫.

দৃশ্যপট-১: ঘর্ষণহীন টেবিলে 1 kg ভরের C বস্তুটি দুইটি হালকা সুতায় দুই পাশের পুলির মাধ্যমে যথাক্রমে 4 kg ভরের B ও 6 kg ভরের A বস্তুর সঙ্গে যুক্ত।

দৃশ্যপট-২: দুটি দৈর্ঘ্য পরিমাপক যন্ত্র A ও B। A-এর ভার্নিয়ার স্কেলে 20 ভাগ এবং মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগের দৈর্ঘ্য 1 mm। B-এর বৃত্তাকার স্কেলে 100 ভাগ এবং পিচ 1 mm।

কোনো রাশির পরিমাপে পরম ত্রুটি ও পরিমাপকৃত মানের অনুপাতকে আপেক্ষিক ত্রুটি বলে। অর্থাৎ আপেক্ষিক ত্রুটি = পরম ত্রুটি/পরিমাপকৃত মান।

ঘূর্ণন গতিতে বস্তু কোনো বিন্দু বা অক্ষকে কেন্দ্র করে ঘোরে। পর্যায়বৃত্ত হতে হলে সমান সময় পরপর বস্তুটিকে একই অবস্থায় ও একই গতিবস্থায় ফিরতে হবে। ঘূর্ণনের কৌণিক বেগ অনিয়মিত হলে প্রতিবার পূর্ণ আবর্তনের সময় সমান হয় না; তাই সেই ঘূর্ণন গতি পর্যায়বৃত্ত নয়। ফলে সকল ঘূর্ণন গতি পর্যায়বৃত্ত নয়।

A, B ও C-এর ভর যথাক্রমে m₁ = 6 kg, m₂ = 4 kg এবং m₃ = 1 kg।

সম্পূর্ণ ব্যবস্থার চালক বল,

F = (m₁ − m₂)g।

মোট ভর = m₁ + m₂ + m₃।

ত্বরণ,

a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂ + m₃)

= (6 − 4) × 9.8/(6 + 4 + 1)

= 19.6/11

≈ 1.78 m s⁻²।

অতএব, A বস্তুটি প্রায় 1.78 m s⁻² ত্বরণে নিচে পড়বে।

A যন্ত্রের ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 mm/20

= 0.05 mm।

B যন্ত্রের লঘিষ্ঠ গণন,

LC = পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের ভাগসংখ্যা

= 1 mm/100

= 0.01 mm।

যেহেতু 0.01 mm < 0.05 mm, B যন্ত্রটি ছোট দৈর্ঘ্য আরও সূক্ষ্মভাবে পরিমাপ করতে পারে। অতএব B যন্ত্র অধিকতর সূক্ষ্ম।

২৬. একটি কার 2.5 m s⁻² সমত্বরণে স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করল এবং একই সময়ে অপর একটি কার প্রথম কারটির 50 m পিছন থেকে 63 km h⁻¹ সমবেগে যাত্রা শুরু করল।

স্ক্রু গজের বৃত্তাকার স্কেল একবার পূর্ণ ঘুরালে স্ক্রুটি রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে স্ক্রু গজের পিচ বলে।

দোলনশীল বস্তু নির্দিষ্ট সময় পরপর একই অবস্থায় একই গতিমুখে ফিরে আসে। অর্থাৎ এর গতির অবস্থা সমান সময় অন্তর পুনরাবৃত্ত হয়। তাই দোলন গতি পর্যায়বৃত্ত গতি।

প্রথম কারের আদিবেগ u₁ = ০ এবং ত্বরণ a₁ = ২.৫ m s⁻²। তাই t সময় পরে,

v₁ = u₁ + a₁t = ২.৫t।

দ্বিতীয় কারের সমবেগ,

v₂ = ৬৩ km h⁻¹ = ৬৩ × ১০০০/৩৬০০ = ১৭.৫ m s⁻¹।

বেগ সমান হলে ২.৫t = ১৭.৫।

অতএব, t = ৭ s।

প্রথম কারের শুরুর স্থানকে মূলবিন্দু ধরি। t সময় পরে কার দুটির অবস্থান,

x₁ = ½ × ২.৫t² = ১.২৫t²

এবং x₂ = −৫০ + ১৭.৫t।

অতিক্রমের সময় x₁ = x₂। তাই,

১.২৫t² = −৫০ + ১৭.৫t

বা, t² − ১৪t + ৪০ = ০

বা, (t − ৪)(t − ১০) = ০।

অতএব, t = ৪ s এবং t = ১০ s—দুটি ধনাত্মক সময়ে কার দুটির অবস্থান একই হয়। সুতরাং চলার পথে তারা পরস্পরকে দুইবার অতিক্রম করবে।

২৭. স্লাইড ক্যালিপার্স ব্যবহার করে একটি গোলকের আয়তন পরিমাপ করতে গিয়ে ব্যাস 5.8 cm পাওয়া গেল। ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.02 cm।

কোনো ভৌত রাশিতে বিভিন্ন মৌলিক রাশি যে সূচকে বা ঘাতে থাকে, সেই সূচকগুলোকে রাশিটির মাত্রা বলে। যেমন, বেগের মাত্রা LT⁻¹।

সাধারণ মিটার স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ সাধারণত 1 mm; তাই এটি দিয়ে মিলিমিটারের ভগ্নাংশ সরাসরি মাপা যায় না। ভার্নিয়ার স্কেলে প্রধান স্কেলের এক ভাগ ও ভার্নিয়ার স্কেলের এক ভাগের ক্ষুদ্র পার্থক্য ব্যবহার করা হয়। ফলে ভার্নিয়ার ধ্রুবক পর্যন্ত, এখানে 0.02 cm বা 0.2 mm পর্যন্ত, দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। তাই সূক্ষ্ম পরিমাপে সাধারণ স্কেলের চেয়ে ভার্নিয়ার স্কেল অধিকতর গ্রহণযোগ্য।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ, S = 1 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.02 cm

= 0.2 mm

ভার্নিয়ার স্কেলের ঘরসংখ্যা n হলে,

VC = S/n

n = S/VC

= 1/0.2

= 5

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলে 5টি ঘর আছে।

উদ্দীপকে ব্যাসটি 0.1 cm পর্যন্ত লেখা হয়েছে। তাই শেষ অঙ্কে সর্বোচ্চ ত্রুটি, Δd = 0.05 cm।

পরিমাপকৃত ব্যাস, d = 5.8 cm

গোলকের পরিমাপকৃত আয়তন, V = πd³/6

= 3.1416 × (5.8)³/6

= 102.16 cm³ প্রায়

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ব্যাস, dₘₐₓ = 5.8 + 0.05

= 5.85 cm

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ আয়তন, Vₘₐₓ = 3.1416 × (5.85)³/6

= 104.83 cm³ প্রায়

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন ব্যাস, dₘᵢₙ = 5.8 − 0.05

= 5.75 cm

সম্ভাব্য সর্বনিম্ন আয়তন, Vₘᵢₙ = 3.1416 × (5.75)³/6

= 99.54 cm³ প্রায়

বড় চূড়ান্ত ত্রুটি, ΔV = 104.83 − 102.16

= 2.67 cm³

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = (ΔV/V) × 100%

= (2.67/102.16) × 100%

= 2.61% প্রায়

অতএব, আয়তনটি একেবারে যথার্থ নয়; 102.16 cm³ মানটির সঙ্গে প্রায় 2.61% সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি থাকতে পারে।

২৮. একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি ঘনকের একপৃষ্ঠের আয়তন পরিমাপে ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে পাওয়া গেল 6.48 cm যেখানে প্রধান স্কেলের পাঠ 6.4 cm. ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ঘর মূল স্কেলের 19 ঘরের সমান। দৈর্ঘ্য পরিমাপে 4% ত্রুটি বিদ্যমান।

যে সকল ভৌত রাশি স্বাধীন এবং অন্য কোনো ভৌত রাশির সাহায্য ছাড়াই প্রকাশ করা যায়, তাদের মৌলিক রাশি বলে। যেমন—দৈর্ঘ্য, ভর ও সময়।

সাধারণ স্লাইড ক্যালিপার্সের লঘিষ্ঠ গণন প্রায় 0.1 mm, কিন্তু স্ক্রু-গজের লঘিষ্ঠ গণন প্রায় 0.01 mm। তারের ব্যাস খুব ছোট হওয়ায় স্ক্রু-গজে আপেক্ষিক ত্রুটি কম হয়; তাই এটি অধিক গ্রহণযোগ্য।

প্রধান স্কেলের পাঠ M = 6.4 cm এবং মোট পাঠ L = 6.48 cm।

20 VSD = 19 MSD হলে ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 MSD − 19/20 MSD = 0.05 mm = 0.005 cm

L = M + V × VC

6.48 = 6.4 + V × 0.005

V = 16

অতএব, ভার্নিয়ার সমপাতন 16।

ঘনকের বাহু a = 6.48 cm এবং দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 4%।

Δa = 6.48 × 0.04 = 0.2592 cm

এক পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল A = a² = 41.9904 cm²। সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল,

Amax = (6.48 + 0.2592)² = 45.4168 cm²

সর্বোচ্চ পরম ত্রুটি, ΔA = 45.4168 − 41.9904 = 3.4264 cm²

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = (ΔA/A) × 100% = (3.4264/41.9904) × 100% = 8.16%

নির্ভরযোগ্যতা = 100% − 8.16% = 91.84%। তাই পরিমাপটি যথেষ্ট নির্ভরযোগ্য।

২৯. 1.96 cm বাহুবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক নেওয়া হলো। অপর একটি নিরেট গোলকের ব্যাস পরিমাপে প্রধান স্কেলের পাঠ 2.4 cm এবং ভার্নিয়ার সমাপতন 6 পাওয়া গেল। ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.05 mm।

যে ভৌত রাশি অন্য কোনো ভৌত রাশির ওপর নির্ভরশীল নয় এবং যাকে অন্য রাশির সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না, তাকে মৌলিক রাশি বলে। দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, তড়িৎ প্রবাহ, তাপমাত্রা, পদার্থের পরিমাণ ও দীপন তীব্রতা—এই সাতটি SI মৌলিক রাশি।

বস্তুর ভর ও ওজন সমান নয়। ভর হলো বস্তুর মধ্যে পদার্থের পরিমাণ বা জড়তার পরিমাপ; এটি একটি স্কেলার রাশি, এর SI একক kg এবং স্থান পরিবর্তনে সাধারণত অপরিবর্তিত থাকে।

ওজন হলো বস্তুর ওপর পৃথিবীর মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল। W = mg; এটি একটি ভেক্টর রাশি এবং এর SI একক N। একই বস্তুর ভর m অপরিবর্তিত থাকলেও অভিকর্ষজ ত্বরণ g স্থানভেদে পরিবর্তিত হওয়ায় ওজন পরিবর্তিত হয়। তাই ভর ও ওজন ভিন্ন ভৌত রাশি।

প্রধান স্কেলের পাঠ, M = 2.4 cm

ভার্নিয়ার সমাপতন, V = 6

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.05 mm = 0.005 cm

গোলকের ব্যাস, D = M + V × VC

= 2.4 + 6 × 0.005

= 2.430 cm

ব্যাসার্ধ, r = D/2

= 2.430/2

= 1.215 cm

অতএব, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ 1.215 cm।

(গ) থেকে গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1.215 cm

গোলকের আয়তন, Vₛ = 4πr³/3

= (4/3) × 3.1416 × (1.215)³

= 7.5131 cm³ প্রায়

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 1.96 cm

ঘনকের আয়তন, V꜀ = a³

= (1.96)³

= 7.5295 cm³

আয়তনের পার্থক্য, V꜀ − Vₛ

= 7.5295 − 7.5131

= 0.0164 cm³ প্রায়

অতএব, নিরেট ঘনকটির আয়তন গোলকের আয়তনের চেয়ে প্রায় 0.0164 cm³ বেশি।

৩০. স্ক্রুগজের সাহায্যে একটি গোলকের ব্যাস পরিমাপে প্রধান স্কেল পাঠ 2 mm পাওয়া গেল। বৃত্তাকার স্কেলের 20 তম ভাগ রৈখিক স্কেলের সাথে মিলে যায়। বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগ সংখ্যা 50 এবং পিচ 0.5 mm। 1 cc গোলকের ভর = 1 gm.

যে একক অন্য কোনো এককের ওপর নির্ভরশীল নয় এবং যার সাহায্যে অন্যান্য লব্ধ একক গঠন করা যায়, তাকে মৌলিক একক বলে। যেমন— দৈর্ঘ্যের একক মিটার (m), ভরের একক কিলোগ্রাম (kg) ও সময়ের একক সেকেন্ড (s)।

কোনো ভৌত রাশি কোন কোন মৌলিক রাশি দিয়ে এবং কী সূচকে গঠিত, তা মাত্রা থেকে জানা যায়। মাত্রা ব্যবহার করে ভৌত সমীকরণের দুই পাশের সমমাত্রিকতা যাচাই, লব্ধ রাশির একক নির্ণয় এবং বিভিন্ন রাশির পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝা যায়। তাই রাশির প্রকৃতি ও সমীকরণের শুদ্ধতা যাচাইয়ে মাত্রা জানা প্রয়োজন।

স্ক্রুগজের পিচ = 0.5 mm

বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগ = 50

ন্যূনাঙ্ক = পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের ভাগসংখ্যা

= 0.5/50 mm

= 0.01 mm

= 0.01 × 10⁻³ m

= 1 × 10⁻⁵ m

অতএব, স্ক্রুগজটির ন্যূনাঙ্ক 1 × 10⁻⁵ m।

গোলকের আয়তন, V = (π/6)d³

নির্দিষ্ট ভরের জন্য ঘনত্ব, ρ = m/V = 6m/(πd³)

অর্থাৎ, ρ ∝ d⁻³

ক্ষুদ্র ত্রুটির ক্ষেত্রে ঘনত্বের আপেক্ষিক ত্রুটির মান,

Δρ/ρ = 3Δd/d

ব্যাসের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি 5% হলে,

ঘনত্বের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 3 × 5%

= 15%

অতএব, ঘনত্ব পরিমাপে শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি প্রায় 15%।

৩১. রিয়াদ তার কেনা সাধারণ স্কেল দিয়ে পেনসিলের দৈর্ঘ্য মেপে 12.37 cm বলল। তার বন্ধু শুভ বলল, এটি সঠিক নাও হতে পারে। রিয়াদ কয়েকবার মেপে একই ফল পাওয়ার কথা জানালে শিক্ষক তাদের 0.005 cm ভার্নিয়ার ধ্রুবকবিশিষ্ট স্লাইড ক্যালিপার্স ব্যবহার করতে বললেন। রিয়াদ স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে সঠিক দৈর্ঘ্য পরিমাপ করল।

যে ভৌত রাশি অন্য কোনো রাশির ওপর নির্ভরশীল নয় এবং যাকে অন্য ভৌত রাশির সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না, তাকে মৌলিক রাশি বলে। দৈর্ঘ্য, ভর ও সময় মৌলিক রাশির উদাহরণ।

ক্ষমতা হলো একক সময়ে সম্পন্ন কাজের পরিমাণ।

P = W/t

কাজের মাত্রা [W] = ML²T⁻² এবং সময়ের মাত্রা [t] = T।

অতএব, ক্ষমতার মাত্রা [P] = [W]/[t]

= ML²T⁻²/T

= ML²T⁻³

ক্ষমতা মৌলিক রাশি ভর, দৈর্ঘ্য ও সময় দিয়ে প্রকাশিত হয় বলে এটি লব্ধ রাশি।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ভাগের মান, 1 MSD = 1 mm = 0.1 cm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.005 cm

সাধারণ অগ্রগামী ভার্নিয়ারের ক্ষেত্রে, VC = 1 MSD − 1 VSD

1 VSD = 0.1 − 0.005

= 0.095 cm

1 VSD/1 MSD = 0.095/0.1

= 19/20

অতএব, 20 VSD = 19 MSD; ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ভাগ প্রধান স্কেলের 19 ভাগের সমান।

স্লাইড ক্যালিপার্সে পেনসিলের প্রান্তের ঠিক আগের প্রধান স্কেল পাঠ 12.3 cm হলে, প্রথম পরিমাপ 12.37 cm পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ভার্নিয়ার পাঠ

n = (মোট পাঠ − প্রধান স্কেল পাঠ)/VC

= (12.37 − 12.30)/0.005

= 0.07/0.005

= 14

(গ)-এ পাওয়া 20-ভাগের ভার্নিয়ার স্কেলে 14তম দাগের সমাপতন সম্ভব। তখন মোট পাঠ

= 12.30 + 14 × 0.005

= 12.37 cm

অতএব, রিয়াদের প্রথম সংখ্যামানটি স্লাইড ক্যালিপার্সের সঠিক পাঠের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ হতে পারে। তবে সাধারণ স্কেল দিয়ে একই ফল বারবার পাওয়া যথার্থতার প্রমাণ নয়; 0.005 cm ন্যূনাঙ্কের যন্ত্রের পাঠই নিশ্চিত পরিমাপ।

৩২. স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপে প্রধান স্কেলের পাঠ 2.5 cm ও ভার্নিয়ার সমাপতন 15 পাওয়া গেল। ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.05 mm।

কোনো ভৌত রাশির মান নির্ণয়ের জন্য একই জাতীয় একটি নির্দিষ্ট আদর্শ রাশিকে একক ধরে তার সঙ্গে প্রদত্ত রাশিটির তুলনা করাকে পরিমাপ বলে। পরিমাপের ফল সংখ্যামান ও একক দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

কাজ, W = বল × বলের দিকে সরণ = Fs

বলের মাত্রা, [F] = MLT⁻²

সরণের মাত্রা, [s] = L

কাজের মাত্রা, [W] = [F][s]

= MLT⁻² × L

= ML²T⁻²

অতএব, কাজ মৌলিক রাশি ভর, দৈর্ঘ্য ও সময় দিয়ে প্রকাশিত হয় বলে কাজ একটি লব্ধ রাশি।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ভাগের মান, 1 MSD = 1 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.05 mm

সাধারণ অগ্রগামী ভার্নিয়ারের ক্ষেত্রে, VC = 1 MSD/n

0.05 = 1/n

n = 1/0.05

= 20

এ ধরনের ভার্নিয়ারে n VSD = (n − 1) MSD।

অতএব, 20 VSD = 19 MSD; অর্থাৎ ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ভাগ প্রধান স্কেলের 19 ভাগের সমান।

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য l হলে সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, A = 6l²

সূচকের নিয়মে ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি, ΔA/A = 2Δl/l

দৈর্ঘ্যের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি 3%।

তাই ক্ষেত্রফলের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 2 × 3%

= 6%

গ্রহণযোগ্য সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি 7% এবং নির্ণীত ত্রুটি 6%। যেহেতু 6% < 7%, তাই সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের পরিমাপ গ্রহণযোগ্য।

৩৩. আয়তাকার একটি বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য 60 সে.মি. প্রস্থ 40 সে.মি. ও উচ্চতা 10 সে.মি.। বাক্সের পুরুত্ব নির্ণয়ে ভার্নিয়ার স্কেল ব্যবহার করে নিম্নরূপ পাঠ পাওয়া গেল:

স্ক্রুকে একবার পূর্ণ ঘোরালে স্ক্রুটি যতটুকু সরণ লাভ করে, তাকে স্ক্রুর পিচ বলে।

কোনো ভৌত রাশির পরিমাপ হলো একটি সংখ্যামান ও একটি এককের সমন্বয়। কেবল সংখ্যামান বললে রাশিটির প্রকৃত পরিমাণ বোঝা যায় না; যেমন দৈর্ঘ্য 5 বললে 5 m, 5 cm নাকি 5 km তা অনির্দিষ্ট থাকে। একই একক ব্যবহার করলে বিভিন্ন পরিমাপ তুলনা ও বৈজ্ঞানিক ফল আদান-প্রদানও নির্ভুল হয়। তাই ভৌত রাশির মান নির্ণয়ে একক অপরিহার্য।

ধরি, বাক্সের দৈর্ঘ্য l এবং প্রস্থ b। তাই তলের ক্ষেত্রফল, A = lb

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি 5% হলে পরিমাপকৃত মান,

l′ = 1.05l এবং b′ = 1.05b

A′ = l′b′

= 1.05l × 1.05b

= 1.1025A

ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি = [(A′ - A)/A] × 100%

= (1.1025 - 1) × 100%

= 10.25%

অতএব, তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে সর্বোচ্চ শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি 10.25%।

প্রধান স্কেল পাঠ = 2 cm

ভার্নিয়ার সমাপতন = 8

ভার্নিয়ার ধ্রুবক = 0.1 mm = 0.01 cm

বাক্সের পুরুত্ব, t = 2 + 8 × 0.01

= 2.08 cm

বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য, l = 60 - 2t

= 60 - 2 × 2.08

= 55.84 cm

ভেতরের প্রস্থ, b = 40 - 2t = 35.84 cm

ভেতরের উচ্চতা, h = 10 - 2t = 5.84 cm

ধারণক্ষমতা, V = lbh

= 55.84 × 35.84 × 5.84

= 11687.624704 cm³

= 0.011687624704 m³

পানির ভর, m = ρV

= 1000 × 0.011687624704

= 11.687624704 kg

অতএব, বাক্সটি প্রায় 11.69 kg পানি দ্বারা পূর্ণ করা যাবে।

৩৪. স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে ঘনকাকৃতি একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে 10 cm পাওয়া গেল; এতে 5% আপেক্ষিক ত্রুটি বিদ্যমান। যন্ত্রটির ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ভাগ প্রধান স্কেলের 19 ভাগের সমান।

কোনো পরিমাপক যন্ত্রের সাহায্যে নির্ভুলভাবে পরিমাপ করা যায় এমন ক্ষুদ্রতম মানকে যন্ত্রটির ন্যূনাঙ্ক বা লিস্ট কাউন্ট বলে।

দ্রুতি একটি স্কেলার রাশি; তাই আঁকাবাঁকা পথে সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে দ্রুতির মান ধ্রুব থাকতে পারে। কিন্তু বেগ ভেক্টর রাশি—এর মান ও দিক উভয়ই ধ্রুব থাকতে হয়। আঁকাবাঁকা পথে চলার সময় গতির দিক ক্রমাগত বদলায়, তাই বেগও বদলায়। এ কারণে এমন পথে সুষম দ্রুতিতে চলা সম্ভব হলেও সুষম বেগে চলা অসম্ভব।

স্লাইড ক্যালিপার্সের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ভাগের মান 1 mm ধরা হলো।

20 VSD = 19 MSD

1 VSD = 19/20 MSD

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD − 1 VSD

= (1 − 19/20) MSD

= 1/20 mm

= 0.05 mm

= 0.005 cm

অতএব, যন্ত্রটির ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.05 mm বা 0.005 cm।

ঘনকাকার বাক্সের বাহু l এবং আয়তন V = l³।

দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, Δl/l = 5%।

আয়তন পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, ΔV/V = 3Δl/l

= 3 × 5%

= 15%

অতএব, আয়তন ও দৈর্ঘ্য পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটির অনুপাত 15 : 5 = 3 : 1। আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটি দৈর্ঘ্যের ত্রুটির তিন গুণ এবং 10 শতাংশ-বিন্দু বেশি।

৩৫. স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে একটি ঘনবস্তু পরিমাপ করে নিম্নরূপ তথ্য পাওয়া গেল। যেখানে মূল স্কেলের ক্ষুদ্রতম ১৯ ঘর ভার্নিয়ার স্কেলের ২০ ঘরের সমান।

স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার স্কেল এক ভাগ ঘোরালে স্ক্রুটি যতটুকু সরণ করে, তাকে স্ক্রু-গজের ন্যূনাঙ্ক বলে।

ন্যূনাঙ্ক = স্ক্রুর পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা।

কোনো ভৌত রাশির পরিমাণ Q = nu, যেখানে u নির্বাচিত একক এবং n সংখ্যামান। একই Q-এর জন্য একক u বদলালে n = Q/u অনুসারে সংখ্যামান বদলে যায়। তাই কোনো রাশির পরিমাপ বা সংখ্যামান নির্বাচিত এককের উপর নির্ভর করে।

20টি ভার্নিয়ার ঘর = 19টি মূল স্কেল ঘর এবং 1 MSD = 0.1 cm।

1 VSD = (19/20) × 0.1 = 0.095 cm।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD − 1 VSD = 0.1 − 0.095 = 0.005 cm।

দৈর্ঘ্যের জন্য, 14 + A × 0.005 = 14.06।

অতএব A = 0.06/0.005 = 12।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.005 cm-কে প্রতিটি দৈর্ঘ্য পরিমাপের সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি ধরা যায়।

প্রস্থ, b = 12 + 8 × 0.005 = 12.04 cm।

উচ্চতা, h = 13 + 10 × 0.005 = 13.05 cm।

আয়তন, V = lbh = 14.06 × 12.04 × 13.05 ≈ 2209.14 cm³।

গুণফলের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি,

ΔV/V = Δl/l + Δb/b + Δh/h

= 0.005/14.06 + 0.005/12.04 + 0.005/13.05

≈ 0.001154।

অতএব আয়তনের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি ≈ 0.115%। তাই প্রদত্ত পাঠ ও যন্ত্রের ন্যূনাঙ্ক থেকে আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটি পরিমাপ করা সম্ভব।

৩৬. একটি স্ক্রু গজের লঘিষ্ঠ গণন 0.01 mm। স্ক্রু গজটি দিয়ে একটি সুষম তারের ব্যাস পরিমাপের ক্ষেত্রে রৈখিক স্কেল পাঠ 3 mm এবং বৃত্তাকার স্কেল পাঠ 65 পাওয়া গেল। স্ক্রু গজটির কোনো যান্ত্রিক ত্রুটি নেই। তারটির দৈর্ঘ্য 10 m এবং ইয়ং-এর গুণাঙ্ক 200 GPa।

যে স্বতঃস্ফূর্ত প্রক্রিয়ায় অস্থিতিশীল পরমাণুর নিউক্লিয়াস থেকে আলফা, বিটা বা গামা রশ্মি নির্গত হয়, তাকে তেজস্ক্রিয়তা বলে।

কোনো বস্তুর ওজন,

W = mg

এখানে ভর m একটি মৌলিক রাশি, কিন্তু অভিকর্ষজ ত্বরণ g দৈর্ঘ্য ও সময়ের ওপর নির্ভরশীল একটি লব্ধ রাশি। তাই ওজনের মাত্রা,

[W] = MLT⁻²

অর্থাৎ ওজন ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়—একাধিক মৌলিক রাশির সমন্বয়ে গঠিত। তাই ওজন একটি লব্ধ রাশি।

রৈখিক স্কেল পাঠ, L = 3 mm

বৃত্তাকার স্কেল পাঠ, C = 65

লঘিষ্ঠ গণন, LC = 0.01 mm

তারটির ব্যাস,

D = L + C × LC

= 3 + 65 × 0.01

= 3.65 mm

তারটির প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল,

A = πD²/4

= 3.1416 × (3.65)²/4

= 10.463 mm² প্রায়

= 10.463 × 10⁻⁶ m²

অতএব, তারটির প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল প্রায় 10.463 mm²।

তারটির আদি দৈর্ঘ্য, L = 10 m

ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, Y = 200 GPa

= 200 × 10⁹ Pa

ঝোলানো ভর, m = 15 kg

তারটির ওপর টান,

F = mg

= 15 × 9.8

= 147 N

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A = 10.463 × 10⁻⁶ m²

ইয়ং-এর গুণাঙ্কের সূত্র,

Y = (F/A)/(ΔL/L)

দৈর্ঘ্য প্রসারণ,

ΔL = FL/(AY)

= (147 × 10)/(10.463 × 10⁻⁶ × 200 × 10⁹)

= 7.024 × 10⁻⁴ m

= 0.7024 mm

অতএব, তারটির দৈর্ঘ্য প্রায় 0.70 mm বৃদ্ধি পাবে।

৩৭.

দৃশ্যকল্প-১: একটি ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য পরিমাপক যন্ত্রের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম 1 ভাগের মান 1 mm। ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ভাগ প্রধান স্কেলের 19 ভাগের সমান। যন্ত্রটি দিয়ে B দণ্ডের দৈর্ঘ্য 8.73 cm এবং প্রধান স্কেল পাঠ 8.7 cm পাওয়া গেল।

দৃশ্যকল্প-২: ঘনকাকার P বস্তুর এক বাহুর পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য 5.5 cm এবং দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 7%।

স্ক্রু-গজের স্ক্রুকে একবার সম্পূর্ণ ঘোরালে সেটি রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অগ্রসর হয়, তাকে স্ক্রুর পিচ বলে।

শুধু একটি সংখ্যা কোনো ভৌত রাশির পরিমাণকে সুনির্দিষ্ট করে না; সংখ্যাটি কতটুকু মানদণ্ডের গুণিতক, তা জানাতে একক প্রয়োজন। একই স্বীকৃত একক ব্যবহার করলে বিভিন্ন স্থানে ও সময়ে করা পরিমাপ অর্থবহভাবে প্রকাশ, তুলনা ও যাচাই করা যায়।

1 MSD = 1 mm

20 VSD = 19 MSD

1 VSD = 19/20 mm = 0.95 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD - 1 VSD

= 1 - 0.95

= 0.05 mm

= 0.005 cm

মোট পাঠ = MSR + V × VC

8.73 = 8.70 + V × 0.005

V = (8.73 - 8.70)/0.005

= 6

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলের 6 নম্বর দাগটি প্রধান স্কেলের সঙ্গে সমাপতিত হয়েছিল।

ঘনকের বাহু l এবং বাহু পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 7%।

এক পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, A = l²

ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি, ΔA/A = 2Δl/l

= 2 × 7%

= 14%

ঘনকের আয়তন, V = l³

আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটি, ΔV/V = 3Δl/l

= 3 × 7%

= 21%

তাই আয়তন ও এক পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটির অনুপাত 21 : 14 = 3 : 2। আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটি 7 শতাংশ-বিন্দু বেশি বা ক্ষেত্রফলের ত্রুটির 1.5 গুণ।

৩৮. একটি সাধারণ স্কেলে দণ্ডের দৈর্ঘ্য 15 mm পাওয়া গেল। উক্ত দণ্ডটিকে 0.01 cm ভার্নিয়ার ধ্রুবকবিশিষ্ট একটি স্লাইড ক্যালিপার্সে পরিমাপ করে ভার্নিয়ার সমপাতন 8 পাওয়া গেল।

কোনো ভৌত রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিগুলোকে যে ঘাতে উন্নীত করলে রাশিটির প্রকৃতি প্রকাশ পায়, সেই ঘাতগুলোকে ঐ ভৌত রাশির মাত্রা বলে।

স্লাইড ক্যালিপার্সের সাধারণ ভার্নিয়ার ধ্রুবক প্রায় 0.1 mm, কিন্তু স্ক্রু গজে অতি ক্ষুদ্র পিচকে বৃত্তাকার স্কেলের বহু ভাগে ভাগ করে সাধারণত 0.01 mm লঘিষ্ঠ গণন পাওয়া যায়। তাই স্ক্রু গজ একই দৈর্ঘ্যের আরও ক্ষুদ্র পরিবর্তন শনাক্ত করতে পারে এবং স্লাইড ক্যালিপার্সের চেয়ে সূক্ষ্ম পরিমাপ দেয়।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ, 1 MSD = 1 mm = 0.1 cm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.01 cm

সরাসরি ভার্নিয়ারে, VC = 1 MSD/n

n = 1 MSD/VC

= 0.1/0.01

= 10

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলে 10টি ঘর আছে।

প্রধান স্কেল পাঠ = 15 mm

ভার্নিয়ার সমাপতন = 8

ভার্নিয়ার ধ্রুবক = 0.01 cm = 0.1 mm

ভার্নিয়ার পাঠ = 8 × 0.1 = 0.8 mm

দণ্ডের দৈর্ঘ্য = প্রধান স্কেল পাঠ + ভার্নিয়ার পাঠ

= 15 + 0.8

= 15.8 mm

= 1.58 cm

অতএব, স্লাইড ক্যালিপার্সে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 15.8 mm বা 1.58 cm।

৩৯. 10 kg ভরের একটি বস্তু স্থির অবস্থায় আছে। এর উপর 5 sec যাবৎ 10 N বল প্রয়োগ করা হলো। এরপর বস্তুটি 5 sec যাবৎ সমবেগে চললো। আবার 10 sec যাবৎ 5N বল প্রয়োগ করা হলো।

একটি বস্তু অন্য একটি বস্তুর পৃষ্ঠের ওপর গড়িয়ে চলার সময় গতির বিপরীতে যে ঘর্ষণ বল ক্রিয়া করে, তাকে আবর্ত বা গড়ানো ঘর্ষণ বলে।

জড়তা হলো বস্তুর স্থিতি বা সমবেগের অবস্থা পরিবর্তনের বিরোধিতা করার ধর্ম। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রে a = F/m; একই বলের জন্য ভর m যত বেশি, ত্বরণ বা গতির পরিবর্তন তত কম হয়। তাই বেশি ভরের বস্তু বেশি জড় এবং ভরকে জড়তার পরিমাপ বলা হয়।

বস্তুর ভর, m = 10 kg

প্রথম 5 s-এ প্রযুক্ত বল, F = 10 N

ত্বরণ, a = F/m = 10/10 = 1 m s⁻²

প্রথম 5 s-এ দূরত্ব, s₁ = ut + ½at²

= 0 + ½ × 1 × 5²

= 12.5 m

5 s শেষে বেগ, v = u + at = 0 + 1 × 5 = 5 m s⁻¹

পরের 5 s সমবেগে দূরত্ব, s₂ = vt = 5 × 5 = 25 m

প্রথম 10 s-এ মোট দূরত্ব = 12.5 + 25 = 37.5 m

অতএব, প্রথম 10 s-এ বস্তুটি 37.5 m অতিক্রম করে।

প্রথম 5 s-এ a = 10/10 = 1 m s⁻², তাই বেগ 0 থেকে 5 m s⁻¹ পর্যন্ত সমহারে বাড়ে।

5–10 s-এ কোনো লব্ধ বল নেই, তাই বস্তুটি 5 m s⁻¹ সমবেগে চলে।

10–20 s-এ বল 5 N হলে a = 5/10 = 0.5 m s⁻²। তাই শেষ বেগ, v = 5 + 0.5 × 10 = 10 m s⁻¹।

অতএব, বেগ-সময় লেখচিত্রের প্রধান বিন্দু (0, 0), (5, 5), (10, 5) ও (20, 10)। প্রথম ও শেষ অংশে ধনাত্মক সমত্বরণ এবং মাঝের অংশে সমবেগ দেখা যায়; সংযুক্ত লেখচিত্রে তা দেখানো হয়েছে।

৪০. একটি বস্তুর ক্ষেত্রফল 300 cm², উচ্চতা 0.1 m এবং বস্তুর ভর 5.5 kg।

কোনো তলের ওপর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল বলের মান ও তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাতকে চাপ বলে। অর্থাৎ P = F/A।

বিকৃতি বা strain হলো দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ও আদি দৈর্ঘ্যের অনুপাত, ε = ΔL/L। লব ও হর উভয়ের একক একই হওয়ায় ভাগে একক কেটে যায়। তাই বিকৃতি একটি মাত্রাহীন রাশি এবং এর কোনো একক নেই।

ক্ষেত্রফল, A = 300 cm² = 0.03 m²

উচ্চতা, h = 0.1 m

বস্তুর আয়তন, V = Ah = 0.03 × 0.1 = 0.003 m³

বস্তুর ভর, m = 5.5 kg

বায়ুতে ওজন, W = mg = 5.5 × 9.8 = 53.9 N

পানির ঊর্ধ্বমুখী বল, Fᵦ = ρVg

= 1000 × 0.003 × 9.8

= 29.4 N

পানিতে আপাত ওজন = W - Fᵦ

= 53.9 - 29.4

= 24.5 N

অতএব, পানিতে বস্তুটির আপাত ওজন 24.5 N।

সম্পূর্ণ নিমজ্জিত অবস্থায় ভাসতে হলে ঊর্ধ্বমুখী বল ও ওজন সমান হতে হবে।

ρV′g = mg

V′ = m/ρ

= 5.5/1000

= 0.0055 m³

বর্তমান আয়তন, V = 0.003 m³

প্রয়োজনীয় বৃদ্ধি = 0.0055 - 0.003 = 0.0025 m³

শতকরা বৃদ্ধি = (0.0025/0.003) × 100% = 83.33%

অতএব, ভর অপরিবর্তিত রেখে আয়তন 0.0055 m³ করতে হবে, অর্থাৎ 0.0025 m³ বা প্রায় 83.33% বাড়াতে হবে।

৪১. পরিমাপক যন্ত্রটি দ্বারা একটি সুষম ঘনকের ধার 2.96 cm পরিমাপ করা হলো। এ ক্ষেত্রে মূল স্কেল পাঠ 2.9 cm। দৈর্ঘ্য পরিমাপে 8% ত্রুটি বিদ্যমান। চিত্রে 20টি ভার্নিয়ার ভাগ 19টি মূল স্কেল ভাগের সমান এবং 12তম ভার্নিয়ার দাগটি মূল স্কেলের দাগের সঙ্গে সমপাতিত।

ভৌত জগতে যা কিছু পরিমাপ করা যায়, তাকে ভৌত রাশি বলে। যেমন দৈর্ঘ্য, ভর ও সময় ভৌত রাশি।

চাকা মাটিকে পেছনের দিকে ঠেললে মাটি স্থিতি ঘর্ষণের মাধ্যমে চাকাকে সামনের দিকে বল দেয়; এই বলেই গাড়ি এগোয়। কর্দমাক্ত মাটিতে চাকা ও মাটির মধ্যকার ঘর্ষণ খুব কম থাকে। ফলে প্রয়োজনীয় সম্মুখমুখী ঘর্ষণ বল সৃষ্টি হওয়ার আগেই চাকা পিছলে ঘুরতে থাকে এবং গাড়ি অনেক সময় সামনে অগ্রসর হতে পারে না।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ, S = 1 mm

20টি ভার্নিয়ার ভাগ = 19টি প্রধান স্কেল ভাগ

1টি ভার্নিয়ার ভাগ = 19/20 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 − 19/20

= 0.05 mm

= 0.005 cm

পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য, L = 2.96 cm

মূল স্কেল পাঠ, M = 2.9 cm

ভার্নিয়ার সমপাতন V হলে,

L = M + V × VC

V = (L − M)/VC

= (2.96 − 2.9)/0.005

= 12

অতএব, ভার্নিয়ার সমপাতন 12।

পরিমাপকৃত ধার, a = 2.96 cm

দৈর্ঘ্যের সর্বোচ্চ শতকরা ত্রুটি = 8%

সর্বনিম্ন সম্ভাব্য ধার, aₘᵢₙ = 2.96 − 2.96 × 8/100

= 2.7232 cm

সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ধার, aₘₐₓ = 2.96 + 2.96 × 8/100

= 3.1968 cm

পরিমাপকৃত আয়তন, V = a³

= (2.96)³

= 25.934 cm³ প্রায়

সর্বনিম্ন আয়তন, Vₘᵢₙ = (2.7232)³

= 20.195 cm³ প্রায়

সর্বোচ্চ আয়তন, Vₘₐₓ = (3.1968)³

= 32.67 cm³ প্রায়

বড় চূড়ান্ত ত্রুটি, ΔV = 32.67 − 25.934

= 6.736 cm³

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = (ΔV/V) × 100%

= (6.736/25.934) × 100%

= 25.97% প্রায়

নির্ভুলতার পরিমাণ = 100% − 25.97%

= 74.03% প্রায়

অতএব, আয়তন পরিমাপে প্রায় 26% সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি থাকায় পরিমাপটি যথেষ্ট নির্ভুল নয়।

৪২.

স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে একটি আয়তাকার বস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপে নিম্নরূপ তথ্য পাওয়া যায়:

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 0.5%।

কোনো বস্তুর মোট সরণকে সেই সরণের জন্য প্রয়োজনীয় মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে যে রাশি পাওয়া যায়, তাকে গড় বেগ বলে। অর্থাৎ, গড় বেগ = মোট সরণ/মোট সময়। এটি একটি ভেক্টর রাশি।

বেগ একটি ভেক্টর রাশি; এর মান ও দিক উভয়ই আছে। বৃত্তাকার পথে সমদ্রুতিতে চললে বেগের মান অপরিবর্তিত থাকলেও প্রতি মুহূর্তে এর দিক পরিবর্তিত হয়। বেগের পরিবর্তনের হারই ত্বরণ। তাই বস্তুটির কেন্দ্রের দিকে অভিমুখী কেন্দ্রমুখী ত্বরণ থাকে, যার মান a = v²/r।

দৈর্ঘ্যের প্রধান স্কেল পাঠ, MSR = 15 cm

মোট পাঠ = 15.12 cm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.1 mm = 0.01 cm

মোট পাঠ = MSR + X × VC

15.12 = 15 + X × 0.01

X × 0.01 = 0.12

X = 0.12/0.01

= 12

অতএব, ভার্নিয়ার সমাপতন X = 12।

আয়তাকার বস্তুর ক্ষেত্রফল, A = lb

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ের আপেক্ষিক ত্রুটি 0.5%। ক্ষুদ্র ত্রুটির ক্ষেত্রে গুণফলের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি যোগ হয়।

ΔA/A = Δl/l + Δb/b

= 0.5% + 0.5%

= 1.0%

অর্থাৎ ক্ষেত্রফলের আপেক্ষিক ত্রুটি দৈর্ঘ্যের 0.5% ত্রুটির দ্বিগুণ।

সুনির্দিষ্ট সর্বোচ্চ মান নিলে,

A′/A = 1.005 × 1.005 = 1.010025

আপেক্ষিক ত্রুটি = (1.010025 - 1) × 100%

= 1.0025%

এটি ক্ষুদ্র ত্রুটির আনুমানিক হিসাবে 1.0%; তাই উক্তিটি যথার্থ।

৪৩. চিত্রটি লক্ষ কর এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

কোনো রাশির পরিমাপে চূড়ান্ত বা পরম ত্রুটি এবং পরিমাপকৃত মানের অনুপাতকে আপেক্ষিক ত্রুটি বলে। অর্থাৎ, আপেক্ষিক ত্রুটি = চূড়ান্ত ত্রুটি/পরিমাপকৃত মান। শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি পেতে অনুপাতটিকে 100% দিয়ে গুণ করা হয়।

সাধারণ মিটার স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ 1 mm। তাই এর সাহায্যে পাঠ নিলে সর্বোচ্চ প্রায় ±0.5 mm অনিশ্চয়তা থাকে। বস্তুর দৈর্ঘ্য যদি মিলিমিটারের ভগ্নাংশ পর্যন্ত প্রয়োজন হয়, মিটার স্কেল তা নির্ভুলভাবে দিতে পারে না; চোখের অবস্থানের কারণে প্যারালাক্স ত্রুটিও হতে পারে। তাই মিটার স্কেলে কেবল এর ন্যূনাঙ্কের সীমার মধ্যে আনুমানিক সঠিক দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়, সম্পূর্ণ ত্রুটিমুক্ত দৈর্ঘ্য নয়।

বর্গের পরিমাপকৃত বাহু, l = 3 cm

বাহুর চূড়ান্ত ত্রুটি, Δl = 3 × 2%

= 0.06 cm

পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল, A = 3² = 9 cm²

সম্ভাব্য সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল, Aₘₐₓ = (3 + 0.06)²

= 3.06²

= 9.3636 cm²

সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি, ΔA = Aₘₐₓ - A

= 9.3636 - 9

= 0.3636 cm²

অতএব, ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে চূড়ান্ত ত্রুটি 0.3636 cm²; ক্ষুদ্র ত্রুটির আনুমানিক হিসাবে প্রায় 0.36 cm²।

প্রথম পর্যায়ে u = 0, v = 10 m s⁻¹ এবং s = 40 m।

v² = u² + 2as

10² = 0 + 2 × a × 40

a = 1.25 m s⁻²

প্রথম পর্যায়ের সময়,

v = u + at₁

10 = 0 + 1.25t₁

t₁ = 8 s

বল অপসারণের পর ঘর্ষণজনিত মন্দন,

a₂ = F_f/m

= 5/2

= 2.5 m s⁻²

থামার সময়,

0 = 10 - 2.5t₂

t₂ = 4 s

সর্বমোট সময়, t = t₁ + t₂

= 8 + 4

= 12 s

অতএব, বস্তুটি প্রথম থেকে মোট 12 s পর থামবে।

৪৪. একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ঘরের দৈর্ঘ্য 1 mm এবং ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.005 cm। সমান পুরুত্বের ঘনকাকৃতির একটি লোহার ফাঁপা বাক্সের বাইরের ও ভিতরের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে l₁ ও l₂। স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে l₁ ও l₂ পরিমাপের ক্ষেত্রে প্রধান স্কেল পাঠ যথাক্রমে 80 mm ও 60 mm এবং ভার্নিয়ার সমাপতন যথাক্রমে 9 ও 6।

স্ক্রু গজের বৃত্তাকার স্কেলটি সম্পূর্ণ একবার ঘোরালে স্ক্রুটি রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে স্ক্রু গজের পিচ বলে।

বল, F = ma

ভরের মাত্রা [m] = M

ত্বরণের মাত্রা [a] = LT⁻²

তাই বলের মাত্রা,

[F] = [m][a]

= M × LT⁻²

= MLT⁻²

অতএব, বলের মাত্রা MLT⁻² বলতে বোঝায় বল রাশিতে ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের মাত্রার সূচক যথাক্রমে 1, 1 ও −2।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম এক ভাগ, S = 1 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.005 cm

= 0.05 mm

ভার্নিয়ার ভাগসংখ্যা n হলে,

VC = S/n

n = S/VC

= 1/0.05

= 20

একটি ভার্নিয়ার ভাগের দৈর্ঘ্য = S − VC

= 1 − 0.05

= 0.95 mm

20টি ভার্নিয়ার ভাগের দৈর্ঘ্য = 20 × 0.95

= 19 mm

= 19টি প্রধান স্কেল ভাগ

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ভাগ প্রধান স্কেলের 19 ভাগের সমান।

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.005 cm

বাইরের দৈর্ঘ্যের প্রধান স্কেল পাঠ, M₁ = 80 mm

= 8 cm

বাইরের দৈর্ঘ্যের সমাপতন, V₁ = 9

বাইরের দৈর্ঘ্য, l₁ = M₁ + V₁ × VC

= 8 + 9 × 0.005

= 8.045 cm

ভিতরের দৈর্ঘ্যের প্রধান স্কেল পাঠ, M₂ = 60 mm

= 6 cm

ভিতরের দৈর্ঘ্যের সমাপতন, V₂ = 6

ভিতরের দৈর্ঘ্য, l₂ = M₂ + V₂ × VC

= 6 + 6 × 0.005

= 6.03 cm

বাক্সের লোহার আয়তন, V = l₁³ − l₂³

= (8.045)³ − (6.03)³

= 520.6887 − 219.2562

= 301.4325 cm³ প্রায়

1 cm³ লোহার ভর 7.2 g হলে,

লোহার ভর, m = 301.4325 × 7.2

= 2170.31 g

= 2.170 kg প্রায়

যেহেতু 2.170 kg > 2 kg, তাই বাক্সের লোহার ভর 2 kg হবে না; প্রায় 2.17 kg হবে।

৪৫. X শিক্ষার্থী দেখল, স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার স্কেলের 10 ভাগ প্রধান স্কেলের 9 ভাগের সমান। গোলকের ব্যাসের প্রধান স্কেল পাঠ 15 mm ও ভার্নিয়ার সমাপতন 4। স্ক্রু-গজে গোলকের ব্যাস 15.44 mm এবং বৃত্তাকার স্কেলের সমাপতন 44।

কোনো ভৌত রাশি পরিমাপের জন্য একই জাতীয় যে নির্দিষ্ট ও সুবিধাজনক পরিমাণকে মানদণ্ড হিসেবে গ্রহণ করা হয়, তাকে ঐ রাশির পরিমাপের একক বলে। যেমন— দৈর্ঘ্যের SI একক মিটার।

কোনো ভৌত রাশি কোন কোন মৌলিক রাশি দিয়ে এবং কী সূচকে গঠিত, তা মাত্রা থেকে জানা যায়। মাত্রা ব্যবহার করে ভৌত সমীকরণের দুই পাশের সমমাত্রিকতা ও শুদ্ধতা যাচাই, লব্ধ রাশির একক নির্ণয় এবং রাশিগুলোর পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝা যায়। তাই পদার্থবিজ্ঞানে মাত্রা প্রয়োজনীয়।

10 VSD = 9 MSD এবং 1 MSD = 1 mm।

1 VSD = 9/10 mm = 0.9 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD - 1 VSD

= 1 - 0.9

= 0.1 mm

গোলকের ব্যাস, d = MSR + V × VC

= 15 + 4 × 0.1

= 15.4 mm

= 1.54 cm

গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, A = 4πr² = πd²

= (22/7) × 1.54²

= 7.454 cm² প্রায়

অতএব, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল প্রায় 7.45 cm²।

স্লাইড ক্যালিপার্সের ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.1 mm।

স্ক্রু-গজে মোট পাঠ 15.44 mm এবং প্রধান স্কেল পাঠ 15 mm। বৃত্তাকার সমাপতন 44।

স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার পাঠ = 15.44 - 15

= 0.44 mm

স্ক্রু-গজের ন্যূনাঙ্ক, LC = 0.44/44

= 0.01 mm

যে যন্ত্রের সর্বনিম্ন পরিমাপযোগ্য মান কম, সেটি বেশি সূক্ষ্ম।

0.01 mm < 0.1 mm

অতএব, স্ক্রু-গজ স্লাইড ক্যালিপার্সের তুলনায় 0.1/0.01 = 10 গুণ বেশি সূক্ষ্ম।

৪৬. একজন বালক পাহাড় থেকে কিছু দূরে দাঁড়িয়ে শব্দ করার 0.50 s পর প্রতিধ্বনি শুনতে পায়। পাহাড়ের দিকে 10.32 m এগিয়ে আবার শব্দ করলে 0.44 s পর প্রতিধ্বনি শোনে।

মাধ্যমের কণাগুলোর স্থায়ী স্থানান্তর না ঘটিয়ে স্পন্দনের মাধ্যমে এক স্থান থেকে অন্য স্থানে শক্তি সঞ্চালনের প্রক্রিয়াকে তরঙ্গ বলে।

তড়িৎ প্রবাহ, I = Q/t

অতএব, আধান Q = It

তড়িৎ প্রবাহ একটি মৌলিক রাশি; এর মাত্রা I এবং সময়ের মাত্রা T।

সুতরাং আধানের মাত্রা,

[Q] = [I][t]

= IT

অতএব, তড়িৎ আধানের মাত্রা IT।

ধরি, প্রথম অবস্থানে পাহাড় থেকে দূরত্ব d এবং শব্দের বেগ v।

প্রথম প্রতিধ্বনির জন্য,

2d = v × 0.50

d = 0.25v

দ্বিতীয় অবস্থানের দূরত্ব, d - 10.32 m।

2(d - 10.32) = v × 0.44

d - 10.32 = 0.22v

প্রথম সমীকরণ বসিয়ে,

0.25v - 10.32 = 0.22v

0.03v = 10.32

v = 10.32/0.03

= 344 m s⁻¹

অতএব, বায়ুমণ্ডলে শব্দের বেগ 344 m s⁻¹।

প্রথম অবস্থানে পাহাড় থেকে দূরত্ব,

d = 0.25v

= 0.25 × 344

= 86 m

70 m এগিয়ে নতুন দূরত্ব, d′ = 86 - 70 = 16 m।

নতুন অবস্থানে প্রতিধ্বনি ফিরে আসার সময়,

t = 2d′/v

= (2 × 16)/344

= 0.093 s প্রায়

পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে সময় ব্যবধান কমপক্ষে 0.10 s হওয়া প্রয়োজন। যেহেতু 0.093 s < 0.10 s, তাই বালকটি 70 m এগিয়ে নতুন অবস্থানে শব্দ করলে পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে না।

৪৭. একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম। ঘরের মান 1 mm এবং প্রধান স্কেলের 19 ঘরের সমান ভার্নিয়ার স্কেলের 20 ঘর। উক্ত স্কেল দ্বারা বর্গাকার একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে 1.875 cm পাওয়া গেল। মূল স্কেলের পাঠ 18 mm এবং পরিমাপে ত্রুটি 5%.

স্ক্রু গজের বৃত্তাকার স্কেল একবার পূর্ণ ঘোরালে স্ক্রুটি রৈখিক স্কেল বরাবর যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে স্ক্রু গজের পিচ বলে।

প্রদত্ত সমীকরণ, s = ut + ½at²

বামপক্ষের মাত্রা, [s] = L।

ডানপক্ষের প্রথম পদের মাত্রা,

[ut] = [LT⁻¹][T] = L

ডানপক্ষের দ্বিতীয় পদের মাত্রা,

[½at²] = [LT⁻²][T²] = L

অতএব, [s] = [ut] = [½at²] = L। সমীকরণটির উভয় পক্ষের প্রতিটি পদের মাত্রা একই; তাই সমীকরণটি মাত্রাগতভাবে যথার্থ। তবে মাত্রাগত যথার্থতা কোনো সমীকরণের ভৌত শুদ্ধতার প্রয়োজনীয় শর্ত, পর্যাপ্ত শর্ত নয়।

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ঘর, S = 1 mm

20 VSD = 19 MSD

1 VSD = 19/20 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 MSD − 1 VSD

= 1 − 19/20

= 0.05 mm

মোট পাঠ, L = 1.875 cm = 18.75 mm

মূল স্কেলের পাঠ, M = 18 mm

L = M + n × VC

n = (L − M)/VC

= (18.75 − 18)/0.05

= 15

অতএব, ভার্নিয়ার সমপাতন 15তম দাগে।

বর্গের ক্ষেত্রফল, A = L²। দৈর্ঘ্য পরিমাপে শতকরা ত্রুটি 5% হলে সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য L₂ = 1.05L।

তখন সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল,

A₂ = (1.05L)² = 1.1025L² = 1.1025A

সুতরাং সর্বোচ্চ শতকরা ত্রুটি,

(A₂ − A)/A × 100%

= (1.1025A − A)/A × 100%

= 10.25%

অতএব, বর্গাকার বস্তুটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে সর্বোচ্চ 10.25% ত্রুটি হতে পারে। ক্ষুদ্র ত্রুটির আনুমানিক সূত্রে ΔA/A = 2ΔL/L থেকে মানটি প্রায় 10% পাওয়া যায়।

৪৮.

স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে একটি আয়তাকার বস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপের তথ্য:

মাত্রা	প্রধান স্কেল পাঠ	ভার্নিয়ার সমাপতন	ভার্নিয়ার ধ্রুবক	মোট পাঠ
দৈর্ঘ্য	15 cm	X	0.1 mm	15.12 cm
প্রস্থ	10 cm	8	0.1 mm	Y

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 0.5%।

কোনো বস্তুর মোট সরণকে সেই সরণের জন্য প্রয়োজনীয় মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে যে রাশি পাওয়া যায়, তাকে গড় বেগ বলে। অর্থাৎ গড় বেগ = মোট সরণ/মোট সময়।

বৃত্তাকার পথে সমদ্রুতিতে চললে বস্তুর দ্রুতির মান অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু প্রতিটি বিন্দুতে বেগের দিক বদলায়। ত্বরণ হলো সময়ের সঙ্গে বেগের পরিবর্তনের হার। বেগের দিক পরিবর্তিত হওয়ায় বেগও পরিবর্তিত হয়; তাই বস্তুটির বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ থাকে।

দৈর্ঘ্যের প্রধান স্কেল পাঠ, MSR = 15 cm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 0.1 mm = 0.01 cm

মোট পাঠ = MSR + X × VC

15.12 = 15 + X × 0.01

X = (15.12 − 15)/0.01

= 0.12/0.01

= 12

অতএব, ভার্নিয়ার স্কেলের 12 নম্বর দাগটি সমাপতিত হয়েছিল; X = 12।

আয়তাকার বস্তুর দৈর্ঘ্য l, প্রস্থ b এবং ক্ষেত্রফল A = lb।

দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, Δl/l = 0.5%

প্রস্থ পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি, Δb/b = 0.5%

গুণফলের সর্বাধিক আপেক্ষিক ত্রুটি,

ΔA/A = Δl/l + Δb/b

= 0.5% + 0.5%

= 1%

আবার, 1% = 2 × 0.5%।

অতএব, ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের আপেক্ষিক ত্রুটি দৈর্ঘ্য পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটির দ্বিগুণ; বক্তব্যটি সঠিক।

৪৯. একটি গতিশীল বস্তুর বেগ–সময় লেখচিত্রে বিন্দুগুলো হলো A(0 s, 2 m s⁻¹), B(15 s, 8 m s⁻¹), C(35 s, 8 m s⁻¹), D(45 s, 2 m s⁻¹), E(55 s, 2 m s⁻¹) এবং F(60 s, 0 m s⁻¹)। প্রতিটি পরপর বিন্দু সরলরেখা দিয়ে যুক্ত।

কোনো ভৌত রাশিতে মৌলিক রাশিগুলো কোন ঘাতে বা সূচকে আছে, সেই ঘাত বা সূচকগুলোকে ঐ রাশির মাত্রা বলে।

সাইকেলটি বৃত্তাকার পথে সমদ্রুতিতে এক পূর্ণ পাক শেষ করে নির্দিষ্ট সময় পরপর একই অবস্থান ও একই গতির দশায় ফিরে আসে। এভাবে সমান সময় অন্তর গতির অবস্থার পুনরাবৃত্তি ঘটে। তাই বৃত্তাকার পথে সমদ্রুতিতে ঘূর্ণায়মান সাইকেলের গতি পর্যায়বৃত্ত গতি।

0–15 s সময়ে আদিবেগ, u = 2 m s⁻¹

ত্বরণ, a = (8 − 2)/(15 − 0)

= 0.4 m s⁻²

সমত্বরণে n-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, sₙ = u + ½a(2n − 1)

দশম সেকেন্ডে,

s₁₀ = 2 + ½ × 0.4 × (2 × 10 − 1)

= 2 + 0.2 × 19

= 5.8 m

অতএব, দশম সেকেন্ডে বস্তুটি 5.8 m দূরত্ব অতিক্রম করে।

AB অংশে, a₁ = (8 − 2)/(15 − 0) = +0.4 m s⁻²

BC অংশে বেগ ধ্রুব, তাই a₂ = 0; সময় 15–35 s।

CD অংশে, a₃ = (2 − 8)/(45 − 35) = −0.6 m s⁻²

DE অংশে বেগ ধ্রুব, তাই a₄ = 0; সময় 45–55 s।

EF অংশে, a₅ = (0 − 2)/(60 − 55) = −0.4 m s⁻²

অতএব, বস্তুটি প্রথম 15 s সুষম ত্বরণে চলে, পরের 20 s সমবেগে চলে, 35–45 s সুষম মন্দনে বেগ 2 m s⁻¹-এ নামে, পরের 10 s আবার সমবেগে চলে এবং শেষ 5 s সুষম মন্দনে থেমে যায়। সংযুক্ত ত্বরণ–সময় লেখে এই পাঁচটি অংশ দেখানো হয়েছে।