অধ্যায়-১ : বাস্তব সংখ্যা

3nx² − 4mx + 3n = 0
=> 3n(x² + 1) = 4mx
=> $\frac{(x² + 1)}{(2x)}$ = $\frac{2m}{(3n)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{(x + 1)²}{(x − 1)²}$ = $\frac{(2m + 3n)}{(2m − 3n)}$
ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে পাই
$\frac{(x + 1)}{(x − 1)}$ = $\frac{√(2m + 3n)}{√(2m − 3n)}$

পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{[(x + 1) + (x − 1)]}{[(x + 1) − (x − 1)]}$
= $\frac{[√(2m + 3n) + √(2m − 3n)]}{[√(2m + 3n) − √(2m − 3n)]}$
=> x = $\frac{[√(2m + 3n) + √(2m − 3n)]}{[√(2m + 3n) − √(2m − 3n)]}$

প্রদত্ত সমীকরণকে লিখি
[$\frac{(x + a)}{(x − a)}$ − 1] + [$\frac{(x + b)}{(x − b)}$ − 1] = 0
=> $\frac{2a}{(x − a)}$ + $\frac{2b}{(x − b)}$ = 0

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে আড়গুণন করি
a(x − b) = −b(x − a)
=> ax − ab = −bx + ab
=> x(a + b) = 2ab

=> $\frac{2}{x}$ = $\frac{(a + b)}{(ab)}$
= $\frac{a}{(ab)}$ + $\frac{b}{(ab)}$
= $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{a}$
অতএব $\frac{2}{x}$ = $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$

$m²-\frac{2m}{x}+1=0$
=> $m²+1=\frac{2m}{x}$
=> $x=\frac{2m}{m²+1}$

ধরি, $R=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
হর-মুক্ত করে, $R=\frac{1+\sqrt{1-x²}}{x}$
এখানে, $\sqrt{1-x²}=\frac{m²-1}{m²+1}$ বসালে,
$R=\frac{1+\frac{m²-1}{m²+1}}{\frac{2m}{m²+1}}$
$=m$
অতএব, $m=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

প্রদত্ত সমীকরণের বাম পক্ষকে এক হরে এনে পাই,
$\frac{(y+11a)(y-11b)+(y+11b)(y-11a)}{(y-11a)(y-11b)}=2$

=> $2y²-242ab=2(y-11a)(y-11b)$
=> $2y²-242ab=2y²-22(a+b)y+242ab$
=> $22(a+b)y=484ab$

যেহেতু $a+b≠0$,
=> $y=\frac{484ab}{22(a+b)}$
$=\frac{22ab}{a+b}$

2cos(A + B) = 1
=> A + B = 60°
2sin(A − B) = 1
=> A − B = 30°

যোগ করে পাই, 2A = 90°
=> A = 45°
অতএব, cosec 2A = cosec 90° = 1

R = 0 হলে 2x² + 3y − 3 = 0
=> 2cos² θ + 3sin θ − 3 = 0

cos² θ = 1 − sin² θ বসিয়ে পাই,
2(1 − sin² θ) + 3sin θ − 3 = 0
=> 2sin² θ − 3sin θ + 1 = 0

=> (2sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0
=> sin θ = $\frac{1}{2}$ অথবা 1
যেহেতু 0° ≤ θ ≤ 90°, তাই θ = 30° অথবা 90°

z² − 6z − 1 = 0
z দিয়ে ভাগ করে পাই,
z − $\frac{1}{z}$ = 6
উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
z² + $\frac{1}{z²}$ = 38

অতএব, z⁴ + $\frac{1}{z⁴}$
= (z² + $\frac{1}{z²}$)² − 2
= 38² − 2
= 1442

$\frac{1}{s}$ = √6 − √5
=> s = $\frac{1}{(√6 − √5)}$
= √6 + √5

=> s − $\frac{1}{s}$ = 2√5

s³ − $\frac{1}{s³}$
= (s − $\frac{1}{s}$)³ + 3(s − $\frac{1}{s}$)
= (2√5)³ + 3 × 2√5
= 46√5

x⁴ + $\frac{1}{x⁴}$ = 194 এবং x > 1
=> (x² + $\frac{1}{x²}$)² = 196
=> x² + $\frac{1}{x²}$ = 14
=> (x + $\frac{1}{x}$)² = 16
=> x + $\frac{1}{x}$ = 4

x² − 4x + 1 = 0
=> x = 2 ± √3
কিন্তু 2 − √3 < 1
অতএব, x = 2 + √3

প্রদত্ত 3m² − 7m + 3 = 0 সমীকরণ থেকে m + $\frac{1}{m}$-এর মান ব্যবহার করে নির্ণেয় রাশিটি প্রমাণ করা যায়

3m² − 7m + 3 = 0
=> 3m² + 3 = 7m
m দ্বারা ভাগ করে পাই,
3(m + $\frac{1}{m}$) = 7

উভয় পক্ষ ঘন করে পাই,
27(m + $\frac{1}{m}$)³ = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) + 27 × 3(m + $\frac{1}{m}$) = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) + 189 = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) = 154
অতএব, 27[$\frac{(m⁶ + 1)}{m³}$] = 154

a = x + y, b = y + z এবং c = z + x বসিয়ে পাই,
$\frac{(x + y − z)}{(x + y)}$ = $\frac{(y + z − x)}{(y + z)}$ = $\frac{(z + x − y)}{(z + x)}$
প্রত্যেক অনুপাত থেকে 1 বিয়োজন করে পাই,
$\frac{z}{(x + y)}$ = $\frac{x}{(y + z)}$ = $\frac{y}{(z + x)}$

প্রত্যেক অনুপাতের সঙ্গে 1 যোজন করে পাই,
$\frac{(x + y + z)}{(x + y)}$ = $\frac{(x + y + z)}{(y + z)}$ = $\frac{(x + y + z)}{(z + x)}$
যেহেতু x + y + z ≠ 0, তাই x + y = y + z = z + x
=> x = y = z

$\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = $\frac{6}{y}$
=> $\frac{(m + n)}{(mn)}$ = $\frac{6}{y}$
=> y = $\frac{6mn}{(m + n)}$

$\frac{y}{(3m)}$ = $\frac{2n}{(m + n)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\frac{(y + 3m)}{(y − 3m)}$ = $\frac{(3n + m)}{(n − m)}$
একইভাবে, $\frac{(y + 3n)}{(y − 3n)}$ = $\frac{(3m + n)}{(m − n)}$

তাই নির্ণেয় যোগফল
= $\frac{(3n + m)}{(n − m)}$ + $\frac{(3m + n)}{(m − n)}$
= $\frac{(3n + m − 3m − n)}{(n − m)}$
= 2$\frac{(n − m)}{(n − m)}$
= 2

y⁴ = 110−$\frac{1}{y⁴}$

=> y⁴+$\frac{1}{y⁴}$ = 110
উভয় পক্ষকে y⁴ দিয়ে গুণ করে পাই
y⁸+1 = 110y⁴
অতএব y⁸−110y⁴+1 = 0

m²−2√30 = 11 এবং m>0
=> m² = 11+2√30 = (√6+√5)²
=> m = √6+√5

$\frac{1}{m}$ = √6−√5
=> m−$\frac{1}{m}$ = 2√5
=> m+$\frac{1}{m}$ = 2√6

$\frac{(m⁸−1)}{m⁴}$ = m⁴−$\frac{1}{m⁴}$
= (m²−$\frac{1}{m²}$)(m²+$\frac{1}{m²}$)
= 4√30×22
= 88√30

mn = (cotθ+cosθ)(cotθ−cosθ)
= cot²θ−cos²θ
= $\frac{\cos⁴θ}{\sin²θ}$

√mn sec²θ = ($\frac{\cos²θ}{\sinθ}$)×$\frac{1}{\cos²θ}$
= $\frac{1}{\sinθ}$
= cosecθ

চিত্রের সমকোণী △PQR-এ sinP = $\frac{√3}{2}$ এবং cosR = $\frac{√3}{2}$
তাই ∠P = 60° ও ∠R = 30°

=> 3α−2β = 60°
=> α+2β = 30°

সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 4α = 90°
=> α = 22.5° এবং β = 3.75°
অতএব α+β = 26.25°

S ও T যথাক্রমে PQ ও PR-এর মধ্যবিন্দু
অতএব, $\frac{PS}{PQ}$ = $\frac{PT}{PR}$ = $\frac{1}{2}$
সমানুপাতের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে ST ∥ QR

ST ∥ QR হওয়ায় △PST ∼ △PQR
অতএব, $\frac{ST}{QR}$ = $\frac{PS}{PQ}$ = $\frac{1}{2}$
=> QR = 2ST

বিশেষ নির্বচন: △PQR-এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T, প্রমাণ করতে হবে △PST-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{4}$ × △PQR-এর ক্ষেত্রফল

অঙ্কন: S ও T যোগ করে ST রেখাংশ আঁকা হলো

প্রমাণ: মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসারে ST ∥ QR
অতএব, △PST ∼ △PQR
=> $\frac{\text{△PST-এর ক্ষেত্রফল}}{\text{△PQR-এর ক্ষেত্রফল}}$ = ($\frac{PS}{PQ}$)²
= ($\frac{1}{2}$)²
= $\frac{1}{4}$
অতএব, △PST-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{4}$ × △PQR-এর ক্ষেত্রফল

y² = 12+2√35 = (√7+√5)² এবং y>0
=> y = √7+√5
=> $\frac{2}{y}$ = √7−√5
=> y−$\frac{2}{y}$ = 2√5

y³−$\frac{8}{y³}$ = (y−$\frac{2}{y}$)³+6(y−$\frac{2}{y}$)
= (2√5)³+12√5
= 52√5

2p²−p−2 = 0
p দিয়ে ভাগ করে পাই
2(p−$\frac{1}{p}$) = 1
=> p−$\frac{1}{p}$ = $\frac{1}{2}$

(p+$\frac{1}{p}$)² = (p−$\frac{1}{p}$)²+4 = $\frac{17}{4}$
=> p+$\frac{1}{p}$ = $\frac{√17}{2}$
=> p²+$\frac{1}{p²}$ = $\frac{9}{4}$
=> p³+$\frac{1}{p³}$ = $\frac{5√17}{8}$

(p²+$\frac{1}{p²}$)(p³+$\frac{1}{p³}$) = p⁵+$\frac{1}{p⁵}$+p+$\frac{1}{p}$
=> p⁵+$\frac{1}{p⁵}$ = ($\frac{9}{4}$)($\frac{5√17}{8}$)−$\frac{√17}{2}$
= $\frac{29√17}{32}$

P = 4, Q = $\frac{3}{4}$ এবং R = 4
=> PQR = 12

সূচকের সূত্র প্রয়োগ করে প্রথম সূচকীয় রাশির ঘাত = −x²+2x+3 এবং দ্বিতীয়টির ঘাত = −x²+2x+1
=> রাশি দুটির ভাগফল = 5² = 25
=> সম্পূর্ণ রাশির মান = 12×25 = 300

$\frac{8}{p}$ = $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$ = $\frac{(a+b)}{ab}$
=> p = $\frac{8ab}{(a+b)}$

$\frac{p}{(4a)}$ = $\frac{2b}{(a+b)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই $\frac{(p+4a)}{(p−4a)}$ = $\frac{(a+3b)}{(b−a)}$
একইভাবে $\frac{(p+4b)}{(p−4b)}$ = $\frac{(3a+b)}{(a−b)}$

রাশি দুটির যোগফল = $\frac{(a+3b)}{(b−a)}$+$\frac{(3a+b)}{(a−b)}$
= 2$\frac{(b−a)}{(b−a)}$
= 2

সমান্তর ধারাটিতে a = 3, d = 2 এবং Sₙ = 168

Sₙ = $\frac{n}{2}$[2a+(n−1)d]
=> 168 = n(n+2)
=> n²+2n−168 = 0
=> (n−12)(n+14) = 0
=> n = 12

গুণোত্তর ধারায় ar² = $\frac{1}{√3}$ এবং ar⁷ = $\frac{4√2}{27}$
=> r⁵ = $\frac{4√6}{27}$
=> r = $\frac{√6}{3}$

a = $\frac{(\frac{1}{√3})}{r²}$ = $\frac{√3}{2}$
r¹⁰ = $\frac{32}{243}$

S₁₀ = a$\frac{(1−r¹⁰)}{(1−r)}$
= ($\frac{√3}{2}$)$\frac{(1−\frac{32}{243})}{(1−\frac{√6}{3})}$
= 211√3$\frac{(3+√6)}{486}$

A = {3, 4, 5}
B = {2, 4, 6}
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}

A \ B = {3, 5}
B \ A = {2, 6}
A ∩ B = {4}
=> (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) = {2, 3, 4, 5, 6} = A ∪ B

ধরি, √7 মূলদ সংখ্যা
তাহলে √7 = $\frac{m}{n}$, যেখানে m ও n পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং n ≠ 0

√7 = $\frac{m}{n}$
=> m² = 7n²
=> 7 | m²
=> 7 | m
ধরি, m = 7k

m = 7k বসিয়ে পাই
49k² = 7n²
=> n² = 7k²
=> 7 | n
অতএব 7, m ও n উভয়ের গুণনীয়ক, যা m ও n পরস্পর সহমৌলিক হওয়ার বিরোধী
সুতরাং √7 অমূলদ সংখ্যা

△ABC-তে ∠ACB = 90°, ∠ABC = 60° এবং AC = 16 মিটার
tan 60° = $\frac{AC}{BC}$
=> √3 = $\frac{16}{BC}$
=> BC = $\frac{16}{√3}$ মিটার

△ABC-এর ক্ষেত্রফল
= $\frac{1}{2}$ × BC × AC
= $\frac{1}{2}$ × $\frac{16}{√3}$ × 16
= $\frac{128√3}{3}$ বর্গমিটার

EF ∥ BD হওয়ায় ∠ADC = 30°
△ACD-তে ∠ACD = 90° এবং AC = 16 মিটার

sin 30° = $\frac{AC}{AD}$
=> $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{AD}$
=> AD = 32 মিটার
আবার, tan 30° = $\frac{AC}{CD}$
=> $\frac{1}{√3}$ = $\frac{16}{CD}$
=> CD = 16√3 মিটার

△ACD-এর পরিসীমা
= AC + AD + CD
= 16 + 32 + 16√3
= 48 + 16√3 মিটার

M = {−2, −1, 0, 1, 2} এবং N = {1, 2, 3}
C = M − N = {−2, −1, 0}
তাই n(C) = 3

P(C) = {∅, {−2}, {−1}, {0}, {−2, −1}, {−2, 0}, {−1, 0}, {−2, −1, 0}}
P(C)-এর উপাদান সংখ্যা = 8 = 2³ = 2ⁿ

y⁶ − 42√6y³ + 1 = 0
=> (y³ − 21√6)² = (21√6)² − 1

=> (y³ − 21√6)² = 2645 = (23√5)²
=> y³ = 21√6 + 23√5

21√6 + 23√5 = 6√6 + 18√5 + 15√6 + 5√5
= (√6 + √5)³
অতএব, y = √6 + √5

AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F, কারণ CE ও BF মধ্যমা

বিশেষ নির্বচন: $△ABC$-এ E ও F যথাক্রমে AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু, প্রমাণ করতে হবে $EF∥BC$ এবং $EF=\frac{1}{2}BC$
অঙ্কন: E ও F যোগ করি
প্রমাণ: $AE=EB$ এবং $AF=FC$
=> $\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=1$
ত্রিভুজের দুই বাহুকে একই অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল
=> $EF∥BC$
ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক
=> $EF=\frac{1}{2}BC$

ত্রিভুজের প্রত্যেক মধ্যমা অপর দুই বাহুর সমষ্টির অর্ধেকের চেয়ে ছোট

$AD<\frac{AB+AC}{2}$
$BF<\frac{BA+BC}{2}$
$CE<\frac{CA+CB}{2}$

অসমতাগুলো যোগ করে পাই,
$AD+BF+CE$
$<\frac{AB+AC+BA+BC+CA+CB}{2}$
$=AB+BC+AC$
অতএব $AD+BF+CE

বিশেষ নির্বচন: P, S, R ও Q একই বৃত্তের পরিধিস্থ চারটি বিন্দু
প্রমাণ করতে হবে ∠PSR + ∠PQR = 180°
অঙ্কন: OP ও OR যোগ করি

প্রমাণ: ∠PSR এবং ∠PQR বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ PSRQ-এর একজোড়া বিপরীত কোণ
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ
অতএব ∠PSR + ∠PQR = 180°

বিশেষ নির্বচন: SQ হলো ∠PSR-এর সমদ্বিখণ্ডক
প্রমাণ করতে হবে PQ = QR
অঙ্কন: PQ ও QR যোগ করি

প্রমাণ: SQ কোণদ্বিখণ্ডক হওয়ায় ∠PSQ = ∠QSR

∠PSQ ও ∠QSR একই বৃত্তের যথাক্রমে PQ ও QR জ্যার ওপর দণ্ডায়মান সমান বৃত্তস্থ কোণ
সমান বৃত্তস্থ কোণের বিপরীত জ্যা সমান
অতএব PQ = QR

সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d
a + 24d = 99
a + 30d = 135
বিয়োজন করে পাই
6d = 36
=> d = 6
=> a = 99 − 24 × 6
= −45

প্রথম 40টি পদের সমষ্টি S₄₀ = $\frac{40}{2}$[2a + 39d]
= 20[2(−45) + 39 × 6]
= 20(−90 + 234)
= 2880

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r
ar² = $\frac{1}{√2}$
ar⁸ = $\frac{1}{(8√2)}$

দ্বিতীয় সমীকরণকে প্রথম সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই
r⁶ = $\frac{1}{8}$
=> r = ±$\frac{1}{√2}$
এবং a = $\frac{(\frac{1}{√2})}{r²}$
= √2

r = $\frac{1}{√2}$ হলে ধারা √2, 1, $\frac{1}{√2}$, $\frac{1}{2}$, …
r = −$\frac{1}{√2}$ হলে ধারা √2, −1, $\frac{1}{√2}$, −$\frac{1}{2}$, …
অতএব প্রদত্ত বিজোড়-স্থানীয় পদ দুটি থেকে উভয় ধারাই সম্ভব

B = {2, 3, 5, 7} এবং C = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
তাই B ∩ C = {3, 5, 7}

P(B ∩ C) = {∅, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
এখানে P(B ∩ C)-এর উপাদান সংখ্যা = 8
আবার, n = 3 হলে 2ⁿ = 2³ = 8
অতএব উপাদান সংখ্যা 2ⁿ-কে সমর্থন করে

g(1 − a) = $\frac{\{1 − 3(1 − a)² + (1 − a)³\}}{\{(1 − a)a\}}$

লব বিস্তৃত করে পাই
1 − 3(1 − 2a + a²) + 1 − 3a + 3a² − a³
= −1 + 3a − a³
তাই g(1 − a) = $\frac{(−1 + 3a − a³)}{\{a(1 − a)\}}$

g($\frac{1}{a}$) = $\frac{\{1 − \frac{3}{a²} + \frac{1}{a³}\}}{\{(\frac{1}{a})(1 − \frac{1}{a})\}}$
= $\frac{(a³ − 3a + 1)}{\{a(a − 1)\}}$
= $\frac{(−1 + 3a − a³)}{\{a(1 − a)\}}$
অতএব g(1 − a) = g($\frac{1}{a}$)

A = {2, 3, 5, 7} এবং B = {2, 4, 6}
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
অতএব, (A ∪ B)′ = {1}

আবার, A′ = {1, 4, 6} এবং B′ = {1, 3, 5, 7}
অতএব, A′ ∩ B′ = {1}
সুতরাং (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

p² = 7 + 4√3 = (2 + √3)²
=> p = 2 + √3
এবং $\frac{1}{p}$ = 2 − √3
অতএব, p + $\frac{1}{p}$ = 4

p² + $\frac{1}{p²}$ = (p + $\frac{1}{p}$)² − 2 = 14
p³ + $\frac{1}{p³}$ = (p + $\frac{1}{p}$)³ − 3(p + $\frac{1}{p}$) = 52

p⁵ + $\frac{1}{p⁵}$ = (p² + $\frac{1}{p²}$)(p³ + $\frac{1}{p³}$) − (p + $\frac{1}{p}$)
= 14 × 52 − 4
= 724

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(21 × 16 + 16 × 12 + 21 × 12)
= 2(336 + 192 + 252)
= 1560 বর্গসেমি

আয়তন = 21 × 16 × 12
= 4032 ঘনসেমি

BCFE তলকে BC বাহুর চারদিকে ঘোরালে 21 সেমি উচ্চতা ও 12 সেমি ব্যাসার্ধের সিলিন্ডার উৎপন্ন হয়

সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
= $\frac{22}{7}$ × 12² × 21
= 9504 ঘনসেমি

বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × $\frac{22}{7}$ × 12 × 21
= 1584 বর্গসেমি

প্রথম ভগ্নাংশে একই ভিত্তির সূচক বিয়োগ করে পাই,
= a⁻¹c⁻²
= $\frac{1}{(ac²)}$

এখন a = 2 ও c = 5 বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{(ac²)}$ = $\frac{1}{(2 × 25)}$ = $\frac{1}{50}$
আবার, (5²)⁻¹ = $\frac{1}{25}$
অতএব, নির্ণেয় মান = $\frac{1}{50}$ ÷ $\frac{1}{25}$
= $\frac{1}{2}$

লব = b[log₁₀√b + log₁₀a − log₁₀√(ac)]

লগারিদমের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
লব = b log₁₀√($\frac{ab}{c}$)
= $\frac{b}{2}$ log₁₀($\frac{ab}{c}$)

অতএব, প্রথম ভগ্নাংশের মান = $\frac{b}{2}$ = $\frac{3}{2}$
সুতরাং, $\frac{3}{2}$ ÷ $\frac{3}{2}$ = 1