অধ্যায়-১: সেট ও ফাংশন

প্রশ্নের সমীকরণের বামপক্ষে P প্রতীকটির সংজ্ঞা উৎসে অনুপস্থিত

যদি উদ্দেশ্যকৃত সমীকরণটি y^(y√y) = (y√y)^y হয়, তবে

(y√y)^y = (y^(3/2))^y = y^(3y/2)

অতএব y > 0-এর জন্য y^(y√y) = y^(3y/2)

y = 1 হলে সমীকরণটি সিদ্ধ

y ≠ 1 হলে,

y√y = 3y/2

=> √y = 3/2

=> y = 9/4

অতএব উদ্দেশ্যকৃত সমীকরণ অনুযায়ী y = 1 অথবা 9/4

ধরি, A = ln a, B = ln b এবং C = ln c

তাহলে,

p-1 = (B+C)/A

=> p = (A+B+C)/A

একইভাবে, q = (A+B+C)/B এবং r = (A+B+C)/C

ধরি, S = A+B+C

তাহলে,

pq+qr+rp-pqr

= S²/(AB)+S²/(BC)+S²/(CA)-S³/(ABC)

= S²(A+B+C-S)/(ABC)

= 0

অতএব, pq+qr+rp-pqr = 0

g(x) = ln[(√5-x)/(√5+x)] সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

(√5-x)/(√5+x) > 0

=> -√5 < x < √5

এই ব্যবধিতে y = (√5-x)/(√5+x) একটি অবিচ্ছিন্ন ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন

x → -√5⁺ হলে y → +∞ এবং x → √5⁻ হলে y → 0⁺

অতএব y-এর রেঞ্জ (0,∞)

সুতরাং ln y-এর রেঞ্জ (-∞,∞)

অর্থাৎ g(x)-এর রেঞ্জ R

উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, f(-2) = 0

=> (-2)³+5(-2)²+a(-2)+8 = 0

=> -8+20-2a+8 = 0

=> 20-2a = 0

=> a = 10

ধরি, X = 1/x, Y = 1/y এবং Z = 1/z

তাহলে p(x,y,z)=0 থেকে পাই,

X³+Y³+Z³-3XYZ = 0

অভেদ অনুসারে,

(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX) = 0

অতএব X+Y+Z = 0 অথবা X = Y = Z

প্রথম ক্ষেত্রে,

1/x+1/y+1/z = 0

=> (xy+yz+zx)/(xyz) = 0

=> xy+yz+zx = 0

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে,

1/x = 1/y = 1/z

=> x = y = z

সুতরাং, xy+yz+zx = 0 অথবা x = y = z

f(x) = x³+x²+4x+4

= (x+1)(x²+4)

ধরি,

(x²+4x-7)/[(x+1)(x²+4)] = A/(x+1)+(Bx+C)/(x²+4)

তাহলে,

x²+4x-7 = A(x²+4)+(Bx+C)(x+1)

সহগ তুলনা করে পাই,

A+B = 1, B+C = 4 এবং 4A+C = -7

সমাধান করে পাই, A = -2, B = 3 এবং C = 1

অতএব,

(x²+4x-7)/f(x) = -2/(x+1)+(3x+1)/(x²+4)

ছক্কার নমুনা ক্ষেত্র S = {1,2,3,4,5,6}

জোড় এবং 4 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা = {4}

অতএব নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1/6

ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/6 = 1/2

দুটি মুদ্রায় একই ফল পাওয়ার ঘটনা {HH,TT}

মুদ্রায় একই ফল পাওয়ার সম্ভাবনা = 2/4 = 1/2

ঘটনা দুটি স্বাধীন বলে,

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1/2×1/2 = 1/4

A = {8,9,10,...,36}

অতএব n(A) = 36-8+1 = 29

জোড় এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো {10,20,30}

তাই P(জোড় এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য) = 3/29

A-তে মৌলিক সংখ্যাগুলো {11,13,17,19,23,29,31}

তাই P(মৌলিক) = 7/29

যেহেতু 3/29 < 7/29, তাই নম্বরটি জোড় ও 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে কম

উৎসের 5.125ˣ-কে 5×125ˣ ধরে,

5×125ˣ = 25ˣ⁺⁴

=> 5¹⁺³ˣ = 5²ˣ⁺⁸

=> 1+3x = 2x+8

=> x = 7

ধরি, X = aˣ, Y = aʸ এবং Z = aᶻ

x+y+z = 0 বলে XYZ = 1

অতএব X = u/v, Y = v/w এবং Z = w/u ধরা যায়

তখন,

1/(aʸ+a⁻ᶻ+1) = 1/(Y+XY+1) = w/(u+v+w)

একইভাবে অপর দুইটি পদ u/(u+v+w) এবং v/(u+v+w)

অতএব যোগফল = 1

y = ln[(3-x)/(3+x)] সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

(3-x)/(3+x) > 0

=> -3 < x < 3

অতএব ডোমেন (-3,3)

x → -3⁺ হলে y → ∞ এবং x → 3⁻ হলে y → -∞

ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন বলে রেঞ্জ R

x+2 উৎপাদক হলে উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে,

(-2)²+6(-2)-p = 0

=> 4-12-p = 0

=> p = -8

f(x) = (2x-1)/(2x+3) থেকে বিপরীত ফাংশন,

f⁻¹(x) = (1+3x)/(2-2x)

প্রশ্নমতে,

2f⁻¹(x) = x

=> (1+3x)/(1-x) = x

=> 1+3x = x-x²

=> x²+2x+1 = 0

=> (x+1)² = 0

=> x = -1

B = 6x³/[(x-1)(2x-4)(3x-9)]

= x³/[(x-1)(x-2)(x-3)]

ভাগ করে পাই,

B = 1+(6x²-11x+6)/[(x-1)(x-2)(x-3)]

ধরি proper ভগ্নাংশটি A/(x-1)+C/(x-2)+D/(x-3)

পর্যায়ক্রমে x = 1, 2 ও 3 বসিয়ে পাই,

A = 1/2, C = -8 এবং D = 27/2

অতএব,

B = 1+1/[2(x-1)]-8/(x-2)+27/[2(x-3)]

27²ˣ = 81ʸ

=> (3³)²ˣ = (3⁴)ʸ

=> 3⁶ˣ = 3⁴ʸ

=> 6x = 4y

অতএব x/y = 2/3

f(x) = 3²ˣ⁺² = 9(3ˣ)² এবং g(x) = 27ˣ⁺¹ = 27(3ˣ)³

ধরি, t = 3ˣ, যেখানে t > 0

3f(x)+3g(x) = 108

=> f(x)+g(x) = 36

=> 9t²+27t³ = 36

=> 3t³+t²-4 = 0

=> (t-1)(3t²+4t+4) = 0

যেহেতু 3t²+4t+4-এর নির্ণায়ক 16-48 < 0, তাই t = 1

অতএব 3ˣ = 1

=> x = 0

উৎসের h(x)′ প্রতীকটি যদি h(x) = g(x)/f(x) বোঝায়, তবে

h(x) = 27ˣ⁺¹/3²ˣ⁺²

= 3³ˣ⁺³⁻²ˣ⁻²

= 3ˣ⁺¹

এটি একটি সূচকীয় ফাংশন

লেখচিত্রটি (−1,1) ও (0,3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং x-অক্ষকে অসমাসন্নভাবে অনুসরণ করে

অতএব h-এর ডোমেন R এবং রেঞ্জ (0,∞)

f(x) = 1/√(3x-2) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

3x-2 > 0

=> x > 2/3

অতএব f-এর ডোমেন (2/3,∞)

f-এর ডোমেন (2/3,∞) এবং সহ-ডোমেন R

ডোমেনের প্রতিটি x-এর জন্য f(x) > 0

x → 2/3⁺ হলে f(x) → ∞ এবং x → ∞ হলে f(x) → 0⁺

অতএব f-এর রেঞ্জ (0,∞)

রেঞ্জ সহ-ডোমেন R-এর সমান নয় বলে f সার্বিক ফাংশন নয়

S অন্বয় থেকে,

4x²+4y²-256 = 0

=> x²+y² = 64 এবং y ≥ 0

অতএব লেখচিত্রটি মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট 8 একক ব্যাসার্ধের বৃত্তের ঊর্ধ্ব অর্ধাংশ

এর ডোমেন [-8,8] এবং রেঞ্জ [0,8]

-8 ≤ x ≤ 8-এর প্রতিটি মানের জন্য y = √(64-x²)-এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়

অর্থাৎ প্রতিটি উল্লম্ব রেখা লেখচিত্রটিকে সর্বাধিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে

সুতরাং S একটি ফাংশন

f(x) = 1/√(1-2x) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

1-2x > 0

=> x < 1/2

অতএব f-এর ডোমেন (-∞,1/2)

এক-এক যাচাই:

ধরি, g(x₁) = g(x₂)

তাহলে,

(x₁-4)/(3x₁+1) = (x₂-4)/(3x₂+1)

আড়গুণ করে সরল করলে পাই,

13x₁ = 13x₂

=> x₁ = x₂

অতএব g এক-এক

সার্বিক যাচাই:

ধরি, y = (x-4)/(3x+1)

সমাধান করে পাই,

x = (y+4)/(1-3y)

y ≠ 1/3-এর প্রতিটি মানের জন্য এই x বাস্তব এবং x ≠ -1/3

অতএব সহ-ডোমেন R-{1/3}-এর প্রতিটি উপাদানের পূর্বপ্রতিবিম্ব আছে

সুতরাং g এক-এক ও সার্বিক উভয়ই

x²+y²+10x-4y-20 = 0

পূর্ণবর্গে পরিণত করে পাই,

(x+5)²+(y-2)² = 49

অতএব লেখচিত্রটি (-5,2) কেন্দ্রবিশিষ্ট 7 একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত

যেমন x = -5 রেখাটি বৃত্তটিকে (-5,9) ও (-5,-5), দুই বিন্দুতে ছেদ করে

অর্থাৎ একই x-এর জন্য y-এর একাধিক মান পাওয়া যায়

সুতরাং উল্লম্ব রেখা পরীক্ষায় S অন্বয়টি ফাংশন নয়

ধারাটির প্রথম পদ a = 8 এবং সাধারণ অনুপাত r = -1/2

যেহেতু |r| < 1, তাই অসীমতক সমষ্টি আছে

S∞ = a/(1-r)

= 8/[1-(-1/2)]

= 16/3

y = ln[(13+x)/(13-x)] সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

(13+x)/(13-x) > 0

=> -13 < x < 13

অতএব ডোমেন (-13,13)

x → -13⁺ হলে y → -∞ এবং x → 13⁻ হলে y → ∞

ফাংশনটি এই ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন ও ক্রমবর্ধমান

অতএব রেঞ্জ R

k = 2 হলে p = (2-3y/2)ⁿ

৩য় পদের সহগ = ⁿC₂2ⁿ⁻²(3/2)²

৫ম পদের সহগ = ⁿC₄2ⁿ⁻⁴(3/2)⁴

প্রশ্নমতে ৩য় সহগ/৫ম সহগ = 32/3

=> 64/[3(n-2)(n-3)] = 32/3

=> (n-2)(n-3) = 2

=> n²-5n+4 = 0

=> n = 1 অথবা 4

যেহেতু n ≠ 1, তাই n = 4

দেওয়া আছে, $\mathrm{p}^{\mathrm{a}}=\mathrm{q}^{\mathrm{b}}=\mathrm{r}^{\mathrm{c}}$ এবং $\mathrm{q}^2=\mathrm{pr}$

ধরি, $p^a=q^b=r^c=k$

$\therefore \quad \mathrm{p}^{\mathrm{a}}=\mathrm{k}$

বা, $\mathrm{p}=\mathrm{k}^{\frac{1}{\mathrm{a}}}$

$q^b=k$

বা, $q=k^{\frac{1}{b}}$

$r^b=k$

বা, $\mathrm{r}=\mathrm{k}^{\frac{1}{\mathrm{c}}}$

এখন, $\mathrm{q}^2=\mathrm{pr}$

বা, $\left(k^{\frac{1}{b}}\right)^2=k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{c}}$

বা, $\mathrm{k}^{\frac{2}{\mathrm{~b}}}=\mathrm{k}^{\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{c}}}$

বা, $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$ বা, $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

$\therefore \quad a^{-1}+c^{-1}=2 b^{-1}$. (দেখানো হলো)

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি = (A+Bx) $\{ \}^n$

এখন, $\mathrm{A}=3$ এবং $\mathrm{B}=1$ হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি হবে $(3+\mathrm{x})^{\mathrm{n}}$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{aligned}(3+x)^n & =3^n+\{ \}^n C_1 \cdot 3^{n-1} \cdot x^1+\{ \}^n C_2 \cdot 3^{n-2} \cdot x^2+\{ \}^n C_3 \cdot 3^{n-3} \cdot x^3 \\& +\{ \}^n C_4 \cdot 3^{n-4} \cdot x^4+\{ \}^n C_5 \cdot 3^{n-5} \cdot x^5+\{ \}^n C_6 \cdot 3^{n-6} \cdot x^6+\ldots \ldots \ldots\end{aligned}$

এখানে, রাশিটির ৫ম পদের সহগ $=\{ \}^n \mathrm{C}_4 \cdot 3^{n-4}$

এবং ৬ষ্ঠ পদের সহগ $=\{ \}^n \mathrm{C}_5 \cdot 3^{\mathrm{n}-5}$

রাশিটির বিস্তৃতির ৫ম পদ ও ৬ষ্ঠ পদের সহগ সমান হলে,

$\{ \}^n C_4 \cdot 3^{n-4}=\{ \}^n C_5 \cdot 3^{n-5}$

বা, $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{3^n}{3^4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \cdot \frac{3^n}{3^5}$

বা, $\frac{3^n}{3^4}=\frac{n-4}{5} \cdot \frac{3^n}{3^5}$

বা, $1=\frac{n-4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

বা, $n-4=15$

বা, $\mathrm{n}=15+4=19$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{n}=19$.

দেওয়া আছে, $f(x)=\ln \frac{7-x}{7+x}$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore f(x) \in \mathbb{R}$ হরে যদি $\frac{7-x}{7+x}>0$ হয়

এখন, $\frac{7-x}{7+x}>0$ হবে যদি

(i) $7-\mathrm{x}>0$ এবং $7+\mathrm{x}>0$ হয়

অথবা, (ii) $7-x<0$ এবং $7+x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $-x>-7$ এবং $x>-7$

বা, $x<7 \quad$ বা, $x>-7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x \in \mathbb{R}: x<7\} \cap\{x \in \mathbb{R}: x>-7\}$

$=(-\infty, 7) \cap(-7, \infty)=(-7,7)$

(ii)নং হতে পাই, $7

বা, $x>7 \quad$ বা, $x<-7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x \in \mathbb{R}: x>7\} \cap\{x \in \mathbb{R}: x<-7\}$

$=(7, \infty) \cap(-\infty,-7)=\varnothing$

$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ এর ডোমেন, $\mathrm{D}_f=(\mathrm{i})$ ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7) \cup \varnothing=(-7,7)$

দেওয়া আছে, $g(x)=\frac{1}{\sqrt{5-2 x}}$

$\mathrm{g(x)}$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $5-2 x>0$ হয়

বা, $-2 x>-5$ বা, $2 x<5 \therefore x<\frac{5}{2}$

$\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x})$ এর ডোমেন, $\mathrm{D}_{\mathrm{g}}=\left\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \in \mathbb{R}\right.$ এবং $\left.\mathrm{x}<\frac{5}{2}\right\}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $f(x)=\frac{x-3}{x+5}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি

$x+5 \neq 0$

বা, $x \neq-5$ হয়

ধরি, $y=f(x)$

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{y}) \ldots \ldots (i)$

তাহলে, $y=\frac{x-3}{x+5}$

বা, $x y+5 y=x-3$

বা, $x y-x=-5 y-3$

বা, $x(y-1)=-5 y-3$

বা, $x=\frac{-5 y-3}{y-1}$

বা, $f^{-1}(y)=\frac{-5 y-3}{y-1}$

$\therefore \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=\frac{-5 \mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-1}$

$\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})$ সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $\mathrm{x}-1 \neq 0$ বা, $\mathrm{x} \neq 1$ হয়

∴ ডোম $\mathrm{f}^{-1}=$ রেঞ্জ $\mathrm{F}=\mathbb{R}-\{1\}$

কিন্তু কোডোমেন $F=\mathbb{R}$

∴ রেঞ্জ $\neq$ কোডোমেন

তাই ফাংশনটি সার্বিক ফাংশন নয়

(যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, $P(x)=\frac{2 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}$

ধরি, $\frac{2 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)} \equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^2+2}$ ........ (i)

বা, $2 \mathrm{x}+4 \equiv \mathrm{~A}\left(\mathrm{x}^2+2\right)+(\mathrm{Bx}+\mathrm{C})(\mathrm{x}-1)$ ........ (ii)

$\therefore 2 x+4 \equiv(A+B) x^2+(C-B) x+2 A-C$ ........ (iii)

(ii) নং $\Omega \mathrm{x}=1$ বসিয়ে, $2+4=\mathrm{A}(1+2)+0$

বা, $6=3 \mathrm{~A} \quad \therefore \mathrm{~A}=2$

(iii) নং হতে, $\mathrm{x}^2, \mathrm{x}$ ও ধ্রুবপদের সহগ সমীকৃত করে পাই, $\mathrm{A}+\mathrm{B}=0$

বা, $\mathrm{B}=-\mathrm{A} \quad \therefore \mathrm{B}=-2$

আবার, $C - B =2$

বা, $\mathrm{C}+2=2 \quad \therefore \mathrm{C}=0$

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{2 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)} \equiv \frac{2}{x-1}+\frac{-2 x+0}{x^2+2}$

$=\frac{2}{\mathrm{x}-1}-\frac{2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2+2}$; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

(Ans.)

দেওয়া আছে, $\binom{n}{2}=\binom{n}{3}$

বা, $\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ বা, $1=\frac{n-2}{3}$

বা, $n-2=3$

$\therefore \quad n=3+2=5$

নির্ণেয় মান: $\mathrm{n}=5$.

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশি $=(2+a x)^7$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$(2+a x)^7=2^7+\{ \}^7 C_1 \cdot 2^{7-1}(a x)^1+\{ \}^7 C_2 \cdot 2^{7-2}(a x)^2 +\{ \}^7 C_3 \cdot 2^{7-3}(a x)^3+\{ \}^7 C_4 \cdot 2^{7-4}(a x)^4+\ldots \ldots \ldots$

$=2^7+\{ \}^7 C_1 \cdot 2^6 \cdot a x+\{ \}^7 C_2 \cdot 2^5 \cdot a^2 x^2+\{ \}^7 C_3 \cdot 2^4 \cdot a^3 x^3+\{ \}^7 C_4 \cdot 2^3 \cdot a^4 x^4+\ldots \ldots$

$\therefore \quad x^3$ এর সহগ $=\{ \}^7 C_3 \cdot 2^4 \cdot a^3$

শর্তমতে, $\{ \}^7 \mathrm{C}_3 \cdot 2^4 \cdot \mathrm{a}^3=15120$

বা, $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 16 \mathrm{a}^3=15120$

বা, $35 \times 16 \mathrm{a}^3=15120$

বা, $560 a^3=15120$

বা, $a^3=\frac{15120}{560}=27=3^3$

$\therefore \quad a=3$

নির্ণেয় মান : $\mathbf{a}=3$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\ln \frac{7+\mathrm{x}}{7-\mathrm{x}}$

যেহেতু, লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \quad \frac{7+x}{7-x}>0$ হবে যদি (i) $7+x>0$ এবং $7-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $7+x<0$ এবং $7-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $x>-7$ এবং - $x>-7$

বা, $x>-7$ এবং $x<7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x>-7\}$ এবং $\{x: x<7\}$

$ =(-7, \infty) \cap(-\infty, 7)=(-7 ; 7)$

(ii)নং হতে পাই, $x<-7$ এবং $-x<-7$

বা, $x<-7$ এবং $x>7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}<-7\} \cap\{\mathrm{x}: \mathrm{x}>7\}=(-\infty,-7) \cap(7, \infty)=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$\mathrm{D}_f$  $=(\mathrm{i})$ ও $(\mathrm{ii})$এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7) \cup \varnothing=(-7,7)$

আবার, $\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\ln \frac{7+\mathrm{x}}{7-\mathrm{x}}$

বা, $e^y=\frac{7+x}{7-x}$

বা, $7+x=7 e^y-x e^y$

বা, $x+x e^y=7 e^y-7$ বা, $x\left(1+e^y\right)=7\left(e^y-1\right)$

$\therefore \quad x=\frac{7\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

$y$ -এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ, $\mathbf{R}_f=\mathbb{R}$

নির্ণেয় ডোমেন $(-7,7)$ এবং রেঞ্জ $\mathbb{R}$.

দেওয়া আছে, $F(x)=\frac{x}{2 x+3}$

$\mathrm{F}(\mathrm{x})$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$ এবং $2 x+3 \neq 0$ বা, $x \neq-\frac{3}{2}$ হয়

∴ ডোমেন $=\mathbb{R}-\left\{-\frac{3}{2}\right\} \text { (Ans.) }$

মনে করি, $\mathrm{y}=\mathrm{F}(\mathrm{x})$

বা, $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{2 \mathrm{x}+3}$

বা, $2 x y+3 y=x$

বা, $2 x y-x=-3 y$

বা, $x-2 x y=3 y$

বা, $x(1-2 y)=3 y$

বা, $x=\frac{3 y}{1-2 y}$

বা, $F^{-1}(y)=\frac{3 y}{1-2 y}\left[\because y=F(x)\right.$ হলে $x=F^{-1}(y)$ হবে $]$

$\therefore \mathrm{F}^{-1}(\mathrm{x})=\frac{3 \mathrm{x}}{1-2 \mathrm{x}}$

প্রশ্নমতে, $3 \mathrm{~F}^{-1}(\mathrm{x})=\mathrm{x}$

বা, $3 \times \frac{3 \mathrm{x}}{1-2 \mathrm{x}}=\mathrm{x}$

বা, $\frac{9 \mathrm{x}}{1-2 \mathrm{x}}=\mathrm{x}$

বা, $x-2 x^2=9 x$

বা, $2 \mathrm{x}^2+8 \mathrm{x}=0$

বা, $2 \mathrm{x}(\mathrm{x}+4)=0$

হয়, $2 \mathrm{x}=0$

$\therefore \mathrm{x}=0$

অথবা, $\mathrm{x}+4=0$

$\therefore \mathrm{x}=-4$

∴ নির্ণেয় $\mathrm{x}$ এর মান $=0,-4$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $G(x)=\frac{1}{(x-1)\left(x^2+9\right)}$

প্রদত্ত রাশি $=\left(\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}-7\right) \mathrm{G}(\mathrm{x})$

$=\frac{x^2-4 x-7}{(x-1)\left(x^2+9\right)}$

ধরি, $\frac{x^2-4 x-7}{(x-1)\left(x^2+9\right)} \equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^2+9}$

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(\mathrm{x}-1)\left(\mathrm{x}^2+9\right)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2-4 x-7 \equiv A\left(x^2+9\right)+(B x+C)(x-1)$

বা, $x^2-4 x-7 \equiv A x^2+9 A+B x^2-B x+C x-C$

$\therefore x^2-4 x-7 \equiv(A+B) x^2+(C-B) x+(9 A-C)$

(ii) নং এর উভয় পক্ষে $\mathrm{x}=1$ বসিয়ে পাই, $1-4-7=\mathrm{A}(1+9)+0$

বা, $10 \mathrm{~A}=-10$

$\therefore \mathrm{A}=-1$

(iii) নং এ $\mathrm{x}^2$ ও $\mathrm{x}$ এর সহগদ্বয় সমীকৃত করে পাই, $\mathrm{A}+\mathrm{B}=1$

বা, $\mathrm{B}=1-\mathrm{A}=1-(-1)=1+1 \quad \therefore \mathrm{~B}=2$

এবং $\mathrm{C}-\mathrm{B}=-4$

বা, $\mathrm{C}=\mathrm{B}-4=2-4 \therefore \mathrm{C}=-2$

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}-7}{(\mathrm{x}-1)\left(\mathrm{x}^2+9\right)}=\frac{-1}{\mathrm{x}-1}+\frac{2 \mathrm{x}-2}{\mathrm{x}^2+9} ;$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

(Ans.)

দেওয়া আছে, $f(x)=\frac{4 x-9}{x-2} \therefore f(P)=\frac{4 P-9}{P-2}$

প্রশ্নমতে, $\mathrm{f(P) = k}$

বা, $\frac{4 \mathrm{P}-9}{\mathrm{P}-2}=\mathrm{k}$

বা, $4 P-9=P k-2 k$

বা, $4 \mathrm{P}-\mathrm{Pk}=9-2 \mathrm{k}$ বা, $\mathrm{P}(4-\mathrm{k})=9-2 \mathrm{k}$

$\therefore \mathrm{P}=\frac{9-2 \mathrm{k}}{4-\mathrm{k}}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $f(x)=\frac{4 x-9}{x-2}$

ধরি, $y=f(x)$

বা, $y=\frac{4 x-9}{x-2}$

বা, $x y-2 y=4 x-9$ বা, $x y-4 x=2 y-9$

বা, $x(y-4)=2 y-9$ বা, $x=\frac{2 y-9}{y-4}$

$\therefore f^{-1}(y)=\frac{2 y-9}{y-4}\left[\because y=f(x) \therefore x=f^{-1}(y)\right]$

$\therefore f^{-1}(-3)=\frac{2 \times(-3)-9}{-3-4}=\frac{-6-9}{-7}=\frac{15}{7} \text { (Ans.) }$

দেওয়া আছে, $ \mathrm{A}=\frac{2 \mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)} $

$=\frac{2(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)+2 \mathrm{x}^3-2(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}$

$=2+\frac{2 \mathrm{x}^3-2\left(\mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}+2\right)(\mathrm{x}-3)}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}$

$=2+\frac{2 \mathrm{x}^3-\left(2 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+4\right)(\mathrm{x}-3)}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}$

$=2+\frac{2 \mathrm{x}^3-\left(2 \mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+4 \mathrm{x}-6 \mathrm{x}^2+18 \mathrm{x}-12\right)}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}$

$=2+\frac{2 \mathrm{x}^3-2 \mathrm{x}^3+6 \mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+6 \mathrm{x}^2-18 \mathrm{x}+12}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)} $

$=2+\frac{12 \mathrm{x}^2-22 \mathrm{x}+12}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)}$

ধরি, $\frac{12 x^2-22 x+12}{(x-1)(x-2)(x-3)} \equiv \frac{D}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$ (i)

(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$12 \mathrm{x}^2-22 \mathrm{x}+12 \equiv \mathrm{D}(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)+\mathrm{B}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-3)+\mathrm{C}(x-1)(x-2)$

বা, $12 \mathrm{x}^2-22 \mathrm{x}+12 \equiv \mathrm{D}\left(\mathrm{x}^2-5 \mathrm{x}+6\right)+\mathrm{B}\left(\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+3\right)+\mathrm{C}\left(\mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}+2\right)$

বা, $12 x^2-22 x+12 \equiv(D+B+C) x^2+(-5 D-4 B-3 C) x+6 D+3 B+2 C$ ......... (ii)

(ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে যথাক্রমে $\mathrm{x}^2, \mathrm{x}$ ও ধ্রুবক পদের সহগ

সমীকৃত করে পাই, $\mathrm{D}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=12 \ldots \ldots (iii)$

$-5 D-4 B-3 C=-22$ ........ (iv)

$6 D+3 B+2 C=12$ ........ (v)

(iv) হতে পাই, $-5 \mathrm{D}-5 \mathrm{~B}-5 \mathrm{C}+\mathrm{B}+2 \mathrm{C}=-22$

বা, $-5(\mathrm{D}+\mathrm{B}+\mathrm{C})+\mathrm{B}+2 \mathrm{C}=-22$

বা, $-60+\mathrm{B}+2 \mathrm{C}=-22$ [(iii) হতে]

$\therefore B+2 C=38 \ldots \ldots \ldots(vi)$

(v) হতে পাই, $6 \mathrm{D}+6 \mathrm{~B}+6 \mathrm{C}-3 \mathrm{~B}-4 \mathrm{C}=12$

বা, $6(\mathrm{D}+\mathrm{B}+\mathrm{C})-3 \mathrm{~B}-4 \mathrm{C}=12$

বা, $72-3 \mathrm{~B}-4 \mathrm{C}=12[\because$ (iii) হতে $]$

$\therefore 3 B+4 C=60 \ldots \ldots \ldots \text { (vii) }$

(vii) $-2 \times($ vi $)$ হতে, $3 \mathrm{~B}+4 \mathrm{C}-2 \mathrm{~B}-4 \mathrm{C}=-16 \therefore \mathrm{~B}=-16$

(vi) হতে, $-16+2 \mathrm{C}=38$

বা, $2 \mathrm{C}=54 \therefore \mathrm{C}=27$

(iii) হতে, $\mathrm{D}-16+27=12 \therefore \mathrm{D}=1$

D, B ও C এর মান (i) নং সমীকরণের বসিয়ে পাই,

$A=2+\frac{D}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$

$\therefore \frac{2 x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=2+\frac{1}{x-1}-\frac{16}{x-2}+\frac{27}{x-3}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

(Ans.)

দেওয়া আছে, $x^2=y^3$

বা, $x=y^{\frac{3}{2}}$ [বর্গমূল করে]

আবার, $y^3=x^2$

বা, $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\frac{2}{3}}$ [ঘনমূল করে].

বামপক্ষ $=\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{2}{3}}$

$=\left(\frac{x}{x^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{y}{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}[x, y$ এর মান বসিয়ে $]$

$=\left(x^{1-\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(y^{1-\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(x^{\frac{3-2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(y^{\frac{2-3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

$=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}}+y^{\frac{-1}{2} \times \frac{2}{3}}=x^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{3}}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \quad\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{3}}$.  (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$\mathrm{F}(\mathrm{x})=\frac{\log _{\mathrm{k}}(5 \mathrm{x}+3)}{\log _{\mathrm{k}} \mathrm{x}}$

$\mathrm{F}(\mathrm{x})=2 \text { হলে, } \frac{\log _{\mathrm{k}}(5 \mathrm{x}+3)}{\log _{\mathrm{k}} \mathrm{x}}=2$

বা, $\log _k(5 x+3)=2 \log _k x=\log _k x^2$

বা, $5 x+3=x^2$ বা, $x^2-5 x-3=0$

বা, $x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot(-3)}}{2 \cdot 1}=\frac{5 \pm \sqrt{25+12}}{2}=\frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$

$\therefore \quad x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}, \frac{5-\sqrt{37}}{.2}$

কিন্তু $x \neq \frac{5-\sqrt{37}}{2}$ [কারণ $x$ এর মান ঋণাত্মক হলে $\log _k x$ অসংজ্ঞায়িত হয়]

সুতরাং, $x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$

প্রদত্ত ধারা : $(2 \mathrm{x}+1)^{-1}+(2 \mathrm{x}+1)^{-2}+(2 \mathrm{x}+1)^{-3}+$ $\ldots \ldots . .$

$=\frac{1}{2 x+1}+\frac{1}{(2 x+1)^2}+\frac{1}{(2 x+1)^3}+\ldots \ldots . .$

ধারাটির ১ম পদ, $\mathrm{a}=\frac{1}{2 \mathrm{x}+1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(2 x+1)^2}}{\frac{1}{2 x+1}}=\frac{1}{(2 x+1)^2} \times \frac{(2 x+1)}{1}=\frac{1}{2 x+1}$

প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে

যদি - $1<\mathrm{r}<1$ হয়

বা, $-1<\frac{1}{2 x+1}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{2 x+1}$

বা, $2 x+1<-1$

বা, $2 x<-1-1$

বা, $2 x<-2$

$\therefore \quad x<-1$

এবং $\frac{1}{2 x+1}<1$

বা, $2 x+1>1$

বা, $2 x>1-1$

বা, $2 x>0$

$\therefore \quad x>0$

$\therefore x < - 1$  অথবা $x > 0$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে

$\therefore$  প্রদত্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি,

দেওয়া আছে, $f(x)=\sqrt{2-5 x}$

$\mathrm{f(x)}$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি

$2-5 \mathrm{x} \geq 0$ বা, $\mathrm{x} \leq \frac{2}{5}$ হয়

∴ ডোমেন, $\mathrm{D}_{\mathrm{f}}=\left\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \in \mathbb{R}\right.$ এবং $\left.\mathrm{x} \leq \frac{2}{5}\right\}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $f(x)=\sqrt{2-5 x}$

ধরি, $y=f(x)=\sqrt{2-5 x}$

বা, $y=\sqrt{2-5 x}$

বা, $y^2=2-5 x$

বা, $5 \mathrm{x}=2-\mathrm{y}^2$

বা, $x=\frac{2-y^2}{5}$

বা, $f^{-1}(y)=\frac{2-y^2}{5}\left[\because y=f(x)\right.$ হলে $x=f^{-1}(y)$ হবে $]$

$\therefore \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=\frac{2-\mathrm{x}^2}{5}$ (Ans.)

$\therefore \mathrm{f}^{-1}(-2)=\frac{2-(-2)^2}{5}=\frac{2-4}{5}=-\frac{2}{5}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $g(x)=x^3-x^2-2 x$

$=x(x 2-x-2)$

$ =x\left(x^2-2 x+x-2\right)$

$=x\{x(x-2)+1(x-2)\}$

$=x(x-2)(x+1)$

$\therefore \frac{5}{g(x)}=\frac{5}{x(x-2)(x+1)}$

ধরি, $\frac{5}{x(x-2)(x+1)} \equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1} \ldots \ldots (i)$.

উভয়পক্ষে $\mathrm{x}(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$5 \equiv A(x-2)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-2)$ ....... (ii)

(ii) নং এ $\mathrm{x}=2$ বসিয়ে, $5=\mathrm{B} .2(2+1)$

বা, $5=6 \mathrm{~B} \therefore \mathrm{~B}=\frac{5}{6}$

(ii) নং এ $\mathrm{x}=0$ বসিয়ে, $5=\mathrm{A}(0-2)(0+1)+0+0$

বা, $5=-2 \mathrm{~A} \therefore \mathrm{~A}=-\frac{5}{2}$

আবার, (ii) নং এ $\mathrm{x}=-1$ বসিয়ে, $5=0+0+\mathrm{C} .(-1)(-1-2)$

বা, $5=3 \mathrm{C} \therefore \mathrm{C}=\frac{5}{3}$

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে,

$\frac{5}{x(x-2)(x+1)} \equiv \frac{-\frac{5}{2}}{x}+\frac{\frac{5}{6}}{x-2}+\frac{\frac{5}{3}}{x+1}$

$\equiv \frac{5}{6(x-2)}-\frac{5}{2 x}+\frac{5}{3(x+1)} ;$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

(Ans.)

এখানে, $\log _{10}\left(100+\sqrt{x^2-6 x+5}\right)=2$

বা, $100+\sqrt{\mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+5}=10^2$

বা, $100+\sqrt{x^2-6 x+5}=100$

বা, $\sqrt{\mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+5}=100-100$

বা, $\sqrt{x^2-6 x+5}=0$

বা, $x^2-6 x+5=0$ [বর্গ করে]

বা, $x^2-5 x-x+5=0$

বা, $x(x-5)-1(x-5)=0$

বা, $(x-5)(x-1)=0$

হয়, $x-5=0$

বা, $x=5$

অথবা, $\mathrm{x}-1=0$

বা, $x=1$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{x}=1,5$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}=3^{2 \mathrm{x}-2}$ এবং $\mathrm{Q}=5 \cdot 3^{\mathrm{x}-2}$

এখন, $\mathrm{P}-\mathrm{Q}=66$ হলে,

$3^{2 x-2}-5 \cdot 3^{x-2}=66$

বা, $3^{2 x} \cdot 3^{-2}-5 \cdot 3^x \cdot 3^{-2}=66$

বা, $\left(3^x\right)^2 \cdot 3^{-2}-5 \cdot 3^x \cdot 3^{-2}=66$

বা, $\left(3^x\right)^2 \cdot 3^{-2} \cdot 3^2-5 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} \cdot 3^2=66 \times 3^2$|উভয়পক্ষকে $3^2$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\left(3^x\right)^2 \cdot 1-5 \cdot 3^x \cdot 1=594\left[\because a^m \cdot a^{-m}=a^{m-n}=a^0=1\right]$

বা, $y^2-5 y=594 \quad\left[3^x=y\right.$ ধরে $]$

বা, $y^2-5 y-594=0$

বা, $y^2-27 y+22 y-594=0$

বা, $y(y-27)+22(y-27)=0$

বা, $(y-27)(y+22)=0$

হয়, $y-27=0$

বা, $y=27$

বা, $3^x=27\left[\because 3^x=y\right]$

বা, $3^x=3^3$

$\therefore x=3$

অথবা, $\mathrm{y}+22=0$

বা, $\mathrm{y}=-22$

বা; $3^{\mathrm{x}}=-22 ;$ যা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $y=3^x>0$.

নির্ণেয় মান : $x=3$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=\frac{2-\mathrm{x}}{2+\mathrm{x}}$

$f(\mathrm{x})=\ln \mathrm{A} \text { হলে, } f(\mathrm{x})=\ln \frac{2-\mathrm{x}}{2+\mathrm{x}}$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore f(x) \in \mathbb{R}$ হবে যদি $\frac{2-x}{2+x}>0$ হয়

এখন, $\frac{2-x}{2+x}>0$ হবে যদি (i) $2-x>0$ এবং $2+x>0$ হয়

অথবা, (ii) $2-\mathrm{x}<0$ এবং $2+\mathrm{x}<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $-x>-2$   এবং $x>-2$

বা, $x<2$    এবং $x>-2$

ডোমেন $=\{x \in \mathbb{R}: x<2\} \cap\{x \in \mathbb{R}: x>-2\}$

$=(-\infty, 2) \cap(-2, \infty)=(-2,2)$

(ii)নং হতে পাই, $-x<-2$    এবং $x<-2$

বা, $x>2$    এবং $x<-2$

ডোমেন $=\{x \in \mathbb{R} \quad: x >2\} \cap\{x \in \mathbb{R}: x<-2\}$

$=(2, \infty), \quad(-\infty,-2)=\varnothing$

$\therefore f(\mathrm{x})$ এর ডোমেন, $\mathrm{D}_f=(\mathrm{i})$ ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-2,2) \cup \varnothing$

$=(-2,2)$

নির্ণেয় ডোমেন (-2, 2).

দেওয়া আছে, $\mathrm{m}^{\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{m}}}=(\mathrm{m} \sqrt{\mathrm{m}})^{\mathrm{m}}$

বা, $\left(m^m\right)^{\sqrt{m}}=\left(m \cdot m^{\frac{1}{2}}\right)^m=\left(m^{1+\frac{1}{2}}\right)^m=\left(m^{\frac{3}{2}}\right)^m=\left(m^m\right)^{\frac{3}{2}}$

বা, $\left(m^m\right)^{\sqrt{m}}=\left(m^m\right)^{\frac{3}{2}}$

বা, $\sqrt{\mathrm{m}}=\frac{3}{2}$

বা, $(\sqrt{m})^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$ [বর্গ করে]

$\therefore \quad m=\frac{9}{4}$

নির্ণেয় মান: $\mathrm{m}=\frac{9}{4}$

দেওয়া আছে, $\sqrt[x]{a}=\sqrt[x]{b}=\sqrt[z]{c}$

ধরি, $\sqrt[x]{a}=\sqrt[y]{b}=\sqrt[z]{c}=k$

বা, $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}=k$

তাহলে, $a^{\frac{1}{x}}=k$

বা, $a=k^x$

$b^{\frac{1}{y}}=k$

বা, $b=k^y$

$\frac{1}{c^z}=k$

বা, $c=k^z$

$abc=1$ হলে, $k^x \cdot k^y \cdot k^z=1$

বা, $k^{x+y+z}=1=k^0 \therefore x+y+z=0$

বামপক্ষ $=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^2+p^{-x}+1}$

$=\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^y \cdot p^{-y}+p^{-z} \cdot p^{-y}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^z \cdot p^x+p^{-x} \cdot p^x+p^x}$

$\begin{aligned} & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^{y-y}+p^{-(z+y)}+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{z+x}+p^{-x+x}+p^x} \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^0+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+p^0+p^x}[\because x+y+z=0] \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{1+p^x+p^{-y}}+\frac{p^x}{p^{-y}+1+p^x} \\ & =\frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^{-y}}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{p^x}{p^x+p^{-y}+1}\end{aligned}$

$=\frac{1+p^{-y}+p^x}{p^x+p^{-y}+1}=\frac{p^x+p^{-y}+1}{p^x+p^{-y}+1}=1=$ ডানপক্ষ

$\therefore \quad \frac{1}{p^x+p^{-y}+1}+\frac{1}{p^y+p^{-z}+1}+\frac{1}{p^z+p^{-x}+1}=1$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \quad \frac{5+x}{5-x}>0$ হবে যদি (i) $5+x>0$ এবং $5-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $5+x<0$ এবং $5-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই,

$x > -5$ এবং $- x > -5$

বা, $x>-5$ এবং $x<5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x>-5\} \cap\{x: x<5\}$

$=(-5, \infty) \cap(-\infty, 5)=(-5,5)$

(ii)নং হতে পাই,

$x<-5$ এবং $-x<-5$

বা, $x<-5$ এবং $x>5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x<-5\} \cap\{x: x>5\}=(-\infty,-5) \cap(5, \infty)=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f =$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-5,5) \cup \varnothing=(-5,5)$

ধরি, $y=f(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

বা, $e^y=\frac{5+x}{5-x}$

বা, $5+x=5 e^y-x e^y$

বা, $x+x e^y=5 e^y-5$

বা, $x\left(1+e^y\right)=5\left(e^y-1\right)$

বা, $x=\frac{5\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

$y$-এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=\mathbb{R}$

নির্ণেয় ডোমেন $D_f=(-5,5)$ এবং রেঞ্জ $R_f=\mathbb{R}$.

এখানে, $(27)^x=(81)^y$

বা, $\left(3^3\right)^x=\left(3^4\right)^y$

বা, $3^{3 x}=3^{4 y}$

বা, $3 x=4 y\left[\because a^m=a^n\right.$ হলে $\left.m=n\right]$

$\therefore \quad \frac{x}{y}=\frac{4}{3}$

নির্ণেয় মান : $\frac{4}{3}$

দেওয়া আছে, $Q=\frac{\log _k(7+x)}{\log _k x}$

$Q=2$ হলে, $\frac{\log _k(7+x)}{\log _k x}=2$

বা, $\log _k(7+x)=2 \log _k x=\log _k x^2$

বা, $7+x=x^2$

বা, $x^2-x-7=0$

বা, $x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot(-7)}}{2 \cdot 1}=\frac{1 \pm \sqrt{1+28}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$

$\therefore \quad x=\frac{1+\sqrt{29}}{2}, \frac{1-\sqrt{29}}{2}$

কিন্তু $x \neq \frac{1-\sqrt{29}}{2}$ [কারণ $x$ এর মান ঋণাত্মক হলে $\log _k x$ অসংজ্ঞায়িত হয়]

সুতরাং, $x=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$

বা, $2 x=1+\sqrt{29}$

$\therefore \quad 2 x-1=\sqrt{29}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

$P=x-2$ হলে, $x-2=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

বা, $(x-2)^3=\left(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}\right)^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $x^3-3 \cdot x^2 \cdot 2+3 \cdot x \cdot 2^2-2^3=\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^3+\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^3+3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}\left(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}\right)$

বা, $x^3-6 x^2+12 x-8=5^2+5+3 \cdot 5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} \cdot(x-2)$ $\left[\because 5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}=x-2\right]$

বা, $x^3-6 x^2+12 x-8=25+5+3 \cdot 5^{\frac{3}{3}} \cdot(x-2)$

বা, $x^3-6 x^2+12 x-8=30+3 \cdot 5(x-2)$

বা, $x^3-6 x^2+12 x-8=30+15 x-30$

বা, $x^3-6 x^2+12 x-8-15 x=0$

$\therefore \quad x^3-6 x^2-3 x-8=0$. (প্রমাণিত)

প্রদত্ত সমীকরণ : $3 \mathrm{x}^2+5 \mathrm{x}+2=0$

সমীকরণটিকে $\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=5 $ এবং $c = 2$

$\therefore $ সমীকরণটির নিশ্চায়ক $ =\mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac} $

$=5^2-4.3 \cdot 2 $

$=25-24 $

$=1>0$

সমীকরণটির নিশ্চায়ক শূন্য থেকে বড় এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা

তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ

(Ans.)

ধরি, $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2 \in$ ডোম $\mathrm{f}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ এক-এক ফাংশন হবে যদি ও কেবল যদি যেকোনো $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2 \in$ ডোম f এর জন্য $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_1\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_2\right)$ হলে $\mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2$ হয়

এখন, $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_1\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_2\right)$

বা, $\frac{3 \mathrm{x}_1-2}{3 \mathrm{x}_1+4}=\frac{3 \mathrm{x}_2-2}{3 \mathrm{x}_2+4}$

বা, $9 \mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2-6 \mathrm{x}_1+12 \mathrm{x}_2-8=9 \mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2+12 \mathrm{x}_1-6 \mathrm{x}_2-8$

বা, $-18 \mathrm{x}_1=-18 \mathrm{x}_2 \quad \therefore \mathrm{x}_1=\mathrm{x}_2$

∴ $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন

(যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, $g(y)=(y-2)\left(y^2+3\right)$

$\therefore \frac{y}{g(y)}=\frac{y}{(y-2)\left(y^2+3\right)}$

ধরি, $\frac{y}{(y-2)\left(y^2+3\right)} \equiv \frac{A}{y-2}+\frac{B y+C}{y^2+3}$ ....... (i)

(i) নং এর উভয়পক্ষে $(\mathrm{y}-2)\left(\mathrm{y}^2+3\right)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$y=A\left(y^2+3\right)+(B y+C)(y-2)$ ....... (ii)

বা, $y=A y^2+3 A+B y^2-2 B y+C y-2 C$

$\therefore y=(A+B) y^2+(C-2 B) y+3 A-2 C \ldots \ldots (iii)$

(ii) নং এ $\mathrm{y}=2$ বসিয়ে, $2=\mathrm{A} \cdot\left(2^2+3\right)+0$

বা, $7 \mathrm{~A}=2 \therefore \mathrm{~A}=\frac{2}{7}$

(iii) নং এর উভয়পক্ষ হতে $\mathrm{y}^2$ এবং y পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$

বা, $\mathrm{B}=-\mathrm{A} \therefore \mathrm{B}=-\frac{2}{7}$

এবং $\mathrm{C}-2 \mathrm{~B}=1$

বা, $C+\frac{4}{7}=1$

বা, $\mathrm{C}=1-\frac{4}{7} \therefore \mathrm{C}=\frac{3}{7}$

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{\mathrm{y}}{(\mathrm{y}-2)\left(\mathrm{y}^2+3\right)} \equiv \frac{\frac{2}{7}}{\mathrm{y}-2}+\frac{\left(-\frac{2}{7}\right) \mathrm{y}+\frac{3}{7}}{\mathrm{y}^2+3}=\frac{2}{7(\mathrm{y}-2)}+\frac{3-2 \mathrm{y}}{7\left(\mathrm{y}^2+3\right)} ;$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

(Ans.)

দেওয়া আছে, $f(x)=\ln (2-x)$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

সুতরাং, $2-\mathrm{x}>0$ বা, $2>\mathrm{x}$

$\therefore x<2$

$\therefore$ ডোমেন $D_f=\{x \in \mathbb{R}: x<2\}=(-\infty, 2)$

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}^2+\mathrm{Q}^2=51 \mathrm{PQ}$

বা, $P^2+Q^2-2 P Q=51 P Q-2 P Q$

বা, $(P-Q)^2=49 P Q$

বা, $\frac{(P-Q)^2}{49}=P Q$

বা, $\left(\frac{P-Q}{7}\right)^2=P Q$

বা, $\frac{P-Q}{7}=\sqrt{P Q}$ [বর্গমূল করে]

বা, $\log \left(\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{7}\right)=\log (\sqrt{\mathrm{PQ}})$ [উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে]

বা, $\log \left(\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{7}\right)=\log (\sqrt{\mathrm{P}} \cdot \sqrt{\mathrm{Q}})$

$\therefore \quad \log \left(\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{7}\right)=\log \sqrt{\mathrm{P}}+\log \sqrt{\mathrm{Q}}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $A=m+5-3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}$

$A=0$ হলে, $m+5-3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}=0$

বা, $m+5=3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}}$.......(1)

বা, $(m+5)^3=\left(3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}}\right)^3$ [উভয়পক্ষে ঘন করে]

বা, $\mathrm{m}^3+3 \cdot \mathrm{~m}^2 \cdot 5+3 \cdot \mathrm{~m} \cdot 5^2+5^3=\left(3^{\frac{2}{3}}\right)^3+\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3+3 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}}\right)$

বা, $m^3+15 m^2+75 m+125=3^2+3^1+3 \cdot 3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} \cdot(m+5)$ [(1) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, $m^3+15 m^2+75 m+125=9+3+3 \cdot 3^{\frac{3}{3}}(m+5)$

বা, $m^3+15 m^2+75 m+125=12+3.3(m+5)$

বা, $\mathrm{m}^3+15 \mathrm{m}^2+75 \mathrm{m}+125-12-9 \mathrm{m}-45=0$

$\therefore \quad m^3+15 m^2+66 m+68=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $8^{2 x}=2^{x+1}$

বা, $\left(8^2\right)^x=2^{x+1}$ বা, $\left\{\left(2^3\right)^2\right\}^x=2^{x+1}$ বা, $\left(2^6\right)^x=2^{x+1}$

বা, $2^{6 x}=2^{x+1}$ বা, $6 x=x+1$ বা, $6 x-x=1$ বা, $5 x=1$

$\therefore \quad x=\frac{1}{5}$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{x}=\frac{1}{5}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=\left(\mathrm{y}^2+\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{y}^2}\right)^6$

দ্বিপদী রাশিটির $(\mathrm{r}+1)$ তম পদ $=\{ \}^6 \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot\left(\mathrm{y}^2\right)^{6-\mathrm{r}} \cdot\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{y}^2}\right)^{\mathrm{r}}$

$\begin{aligned}& =\{ \}^6 \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{y}^{12-2 \mathrm{r}} \cdot \frac{\mathrm{P}^{\mathrm{r}}}{\mathrm{y}^{2 \mathrm{r}}} \\& =\{ \}^6 \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{P}^{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{y}^{12-2 \mathrm{r}-2 \mathrm{r}}=\{ \}^6 \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{P}^{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{y}^{12-4 \mathrm{r}}\end{aligned}$

$y$ মুক্ত পদের জন্য, $12-4 \mathrm{r}=0$

বা, $4 \mathrm{r}=12$

$\therefore \quad r=3$

$\therefore \quad y$ মুক্ত পদ $=\{ \}^6 \mathrm{C}_3 \cdot \mathrm{p}^3=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \mathrm{p}^3=20 \mathrm{p}^3$

শর্তমতে, $20 \mathrm{P}^3=14580$

বা, $\quad P^3=\frac{14580}{20}=729=9^3$

$\therefore \quad P=9$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{p}=9$.

দেওয়া আছে, $f(x)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \quad \frac{7+x}{7-x}>0$ হবে যদি (1) $7+x>0$ এবং $7-x>0$ হয়

অথবা, (2) $7+x<0$ এবং $7-x<0$ হয়

(1)নং হতে পাই,

$x>-7$ এবং $- x>-7$

বা, $x>-7$ এবং $x<7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x>-7\} \cap\{x: x<7\}$

$=(-7, \infty) \cap(-\infty, 7)=(-7,7)$

(2)নং হতে পাই,

$x<-7$ এবং $-x<-7$

বা, $x<-7$ এবং $x>7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x<-7\} \cap\{x: x>7\}$

$=(-\infty,-7) \cap(7, \infty)=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$\mathrm{D}_f=(1)$ ও (2) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7) \cup \varnothing=(-7,7)$

ধরি, $y=f(x)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

বা, $e^y=\frac{7+x}{7-x}$

বা, $\quad 7+\mathrm{x}=7 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}-\mathrm{xe}^{\mathrm{y}}$

বা, $x+x e^y=7 e^y-7$

বা, $x\left(1+e^y\right)=7\left(e^y-1\right)$

$\therefore \quad x=\frac{7\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

$y-$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ

$\mathrm{R}_f=\mathbb{R}$ নির্ণেয় ডোমেন (- 7, 7) এবং রেঞ্জ $\mathbb{R}$.

দেওয়া আছে, $g(y)=y^3-y^2-14 y+24$

এখানে, $g(y)$ এর মাত্রা $=3$ এবং ধুবপদ $=24$

∴ মাত্রা ও ধুবপদের অনুপাত $=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}=1: 8$

নির্ণেয় অনুপাত $1: 8$.

দেওয়া আছে, $g(y)=y^3-y^2-14 y+24$
বা, $y^3-2 y^2+y^2-2 y-12 y+24=0$
বা, $y^2(y-2)+y(y-2)-12(y-2)=0$
বা, $(y-2)\left(y^2+y-12\right)=0$ 

 বা,$y-2=0$ 
$\therefore y=2$ 

অথবা, $y^2+y-12=0$
বা, $y^2+4 y-3 y-12=0$
বা, $y(y+4)-3(y+4)=0$
বা, $(\mathrm{y}+4)(\mathrm{y}-3)=0$
অথবা, $\mathrm{y}-3=0$

$\therefore y=3$ 

বা, $y+4=0$ 

$\therefore \quad y=-4$ 

নির্ণেয় মান : $\mathrm{y}=-4,2,3$.

দেওয়া আছে, $f(x)=x^2-25$ 

$\therefore \quad \frac{x^2}{f(x)}=\frac{x^2}{x^2-25}=\frac{x^2}{(x)^2-(5)^2}=\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}$ 

ধরি, $\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}\equiv1+\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}$ 

$(1)$ নং এর উভয়পক্ষকে $(x+5)(x-5)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2=(x+5)(x-5)+A(x-5)+B(x+5)$

$(2)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=5$ বসিয়ে পাই,

$(5)^2=(5+5)(5-5)+A(5-5)+B(5+5)$

বা, $25=0+\mathrm{A} \times 0+10 \mathrm{~B}$
বা, $\mathrm{B}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$
আবার, (2) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{x}=5$ বসিয়ে পাই,

$(-5)^2=(-5+5)(-5-5)+A(-5-5)+B(-5+5)$

বা, $25=0+\mathrm{A} \times(-10)+\mathrm{B} \times 0$
বা, $-10 \mathrm{~A}=25$
বাঁ, $\mathrm{A}=-\frac{25}{10}-\frac{5}{2}$
এখন, $(1)$ নং এ $A$ ও $B$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(x+5)(x-5)} \equiv 1+\frac{-\frac{5}{2}}{x+5}+\frac{\frac{5}{2}}{x-5}=1-\frac{5}{2(x+5)}+\frac{5}{2(x-5)}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ

দেওয়া আছে, $25^{\mathrm{a}}=125^{\mathrm{b}}$

বা, $\left(5^2\right)^{\mathrm{a}}=\left(5^3\right)^{\mathrm{b}}$

বা, $5^{2 \mathrm{a}}=5^{3 \mathrm{~b}}$

বা, $2 \mathrm{a}=3 \mathrm{~b}$

বা, $\mathrm{a}=\frac{3 \mathrm{~b}}{2}$

$\therefore \frac{3 a}{2 b}=\frac{3 \frac{3 b}{2}}{2 b}=\frac{9 b}{4 b}=\frac{9}{4} \text { (Ans.) }$

দেওয়া আছে, $\mathrm{D}=\mathrm{p}-3-5^{\frac{2}{3}}-5^{\frac{1}{3}}$

প্রশ্নমতে, $\mathrm{p}-3-5^{\frac{2}{3}}-5^{\frac{1}{3}}=0$

বা, $p-3=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

বা, $(p-3)^3=\left(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}\right)^3 \quad$ [ঘন করে]

বা, $\mathrm{p}^3-3 \mathrm{p}^2 \cdot 3+3 \mathrm{p} \cdot 3^2-3^3=\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^3+\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^3+3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}\left(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}\right)$

বা, $\mathrm{p}^3-9 \mathrm{p}^2+27 \mathrm{p}-27=5^2+5+3.5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}(\mathrm{p}-3)$

বা, $\mathrm{p}^3-9 \mathrm{p}^2+27 \mathrm{p}-27=30+3.5^{\frac{3}{3}}(\mathrm{p}-3)$

বা, $p^3-9 p^2+27 p-27=30+15 p-45$

$\therefore p^3-9 p^2+12 p=12$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{C}=\frac{\log _{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)}{\log _{\mathrm{k}} \mathrm{y}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{\log _{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)}{\log _{\mathrm{k}} \mathrm{y}}=2$

বা, $\log _{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)=2 \log _{\mathrm{k}} \mathrm{y}$

বা, $\log _{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)=\log _{\mathrm{k}} \mathrm{y}^2$

বা, $y+5=y^2$

বা, $y^2-y-5=0$

$a x^2+b x+c=0$ হলে, 

$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$

$\therefore y =\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4.1(-5)}}{2.1} $

$=\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

কিন্তু $\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ ঋণাত্মক হওয়ায় তা গ্রহণযোগ্য নয়

$\therefore \mathrm{y}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$ (প্রমাণিত)

ধরি, $f(x)=x^3+a x^2+2 x+1$
$\mathrm{f}(\mathrm{x})$ এর একটি উৎপাদক $(\mathrm{x}+1)$ হলে, $\mathrm{F}(-1)=0$ হবে

অর্থাৎ, $\mathrm{F}(-1)=0$
বা, $(-1)^3+a(-1)^2+2(-1)+1=0$
বা, $-1+a-2+1=0$
বা, $\mathrm{a}-2=0$
$\therefore \quad \mathrm{a}=2$
নির্ণেয় মান : $\mathrm{a}=2$.

দেওয়া আছে, $f(x)=x^3+2 x^2-15 x$
$f(\mathrm{x})$ কে $(\mathrm{x}-\mathrm{m})$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(\mathrm{x})$

$\therefore f(m)=m^3+2 m^2-15 m$

আবার, $f(\mathrm{x})$ কে $(\mathrm{x}-\mathrm{n})$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(\mathrm{n})$

$\therefore f(n)=n^3+2 n^2-15 n$

শর্তমতে, $f(\mathrm{~m})=f(\mathrm{n})$
বা, $m^3+2 m^2-15 m=n^3+2 n^2-15 n$
বা, $m^3-n^3+2\left(m^2-n^2\right)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)\left(m^2+m n+n^2\right)+2(m+n)(n-n)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)\left(m^2+m n+n^2+2 m+2 n-15\right)=0$
∴ হয়, $m-n=0$ অথবা, $m^2+m n+n^2+2 m+2 n-15=0$
কিন্তু $m \neq n$ সুতরাং $m-n \neq 0$

$\therefore m^2+m n+n^2+2 m+2 n-15=0$(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f(x)=x^3+2 x^2-15 x$ 

$\begin{aligned} & =x\left(x^2+2 x-15\right)=x\left(x^2+5 x-3 x-15\right) \\ & =x\{x(x+5)-3(x+5)\} \\ & =x\{(x+5)(x-3)\}=x(x+5)(x-3)\end{aligned}$ 

এখন, $\frac{x+2}{f(x)}=\frac{x+2}{x(x+5)(x-3)}$
ধরি, $\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+5)(\mathrm{x}-3)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}+5}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}-3}$....(1)$
(1) নং এর উভয়পক্ষকে $\mathrm{x}(\mathrm{x}+5)(\mathrm{x}-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x+2 \equiv A(x+5)(x-3)+B x(x-3)+C x(x+5)$

(2) নং এর উভয়পক্ষে $x=0,3,-5$ বসিয়ে পাই,

$0+2=A(0+5)(0-3)+B \times 0(0-3)+C \times 0(0+5)$

বা, $2=-15 \mathrm{~A}+0+0$
বা, $-15 \mathrm{~A}=2$ 

$\begin{aligned} & \therefore \quad A=-\frac{2}{15} \\ & 3+2=A(3+5)(3-3)+B \times 3(3-3)+C \times 3(3+5)\end{aligned}$

বা, $5=\mathrm{A} \times 0+\mathrm{B} \times 0+\mathrm{C} \times 24$
বা, $5=24 \mathrm{C}$ 

$\therefore \quad C=\frac{5}{24}$ 

আবার, $-5+2=\mathrm{A}(-5+5)(-5-3)+\mathrm{B}(-5)(-5-3)+\mathrm{C}(-5)(-5+5)$
বা, $-3=A \times 0+B \times 40+C \times 0$
বা, $-3=40 \mathrm{~B}$
$\therefore \quad B=-\frac{3}{40}$
এখন, A, B ও C এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 

$\frac{x+2}{x(x+5)(x-3)}\equiv \frac{-\frac{2}{15}}{x}+\frac{-\frac{3}{40}}{4+5}+\frac{\frac{5}{24}}{x-3}$  

$\equiv-\frac{2}{15 x}-\frac{3}{40(x+5)}+\frac{5}{24(x-3)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ

$\sqrt{y^8 \sqrt{y^6 \sqrt{y^4}}}$

$=\sqrt{y^8 \sqrt{y^6 \cdot y^2}} $

$=\sqrt{y^8 \sqrt{y^8}} $

$=\sqrt{y^8 \cdot y^4}$

$ =\sqrt{y^{12}} $

$ =y^6$

∴ নির্ণেয় মান $\mathrm{y}^6$. (Ans.)

দেওয়া আছে, $p^2+2=\sqrt[3]{49}+\frac{1}{\sqrt[3]{49}}$

বা, $p^2+2=\sqrt[3]{7^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$

বা, $\mathrm{p}^2+2=7^{\frac{2}{3}}+7^{-\frac{2}{3}}$

বা, $\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^2-2 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}+\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

বা, $\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

বা, $\mathrm{p}=7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^3$ [ঘন করে]

বা, $\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^3-3 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)$

বা, $\mathrm{p}^3=7-7^{-1}-3 . \mathrm{p}$

বা, $\mathrm{p}^3=7-\frac{1}{7}-3 \mathrm{p}$

বা, $\mathrm{p}^3=\frac{49-1-21 \mathrm{p}}{7}$

বা, $7 p^3=48-21 p$

$\therefore 7 p^3+21 p=48$ (প্রমাণিত)

ধরি, $y=f(x)=\ln \frac{6+x}{6-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \frac{6+\mathrm{x}}{6-\mathrm{x}}>0$ যদি (i) $6+\mathrm{x}>0$ এবং $6-\mathrm{x}>0$ হয়

অথবা, (ii) $6+\mathrm{x}<0$ এবং $6-\mathrm{x}<0$ হয়,

(i) নং হতে পাই,

$x>-6$ এবং $-x>-6$

বা, $x>-6$ এবং $x<6$

∴ ডোমেন $=\{\mathrm{x}:-6<\mathrm{x}\} \cap\{\mathrm{x}: \mathrm{x}<6\}$

$=(-6, \infty) \cap(-\infty, 6)$

(ii) নং হতে পাই,

$\mathrm{x}<-6$ এবং $-\mathrm{x}<-6$

বা, $x<-6$ এবং $x>6$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x: x<-6\} \cap\{x: x>6\}=\varnothing$

∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$\mathrm{D}_f=$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-6,6) \cup \varnothing $

$ =(-6,6)$

রেঞ্জ : $y=f(x)=\ln \frac{6+x}{6-x}$

বা, $\mathrm{e}^{\mathrm{y}}=\frac{6+\mathrm{x}}{6-\mathrm{x}}$

বা, $6+\mathrm{x}=6 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}-\mathrm{xe}^{\mathrm{y}}$

বা, $x\left(1+e^y\right)=6\left(e^y-1\right)$

বা, $x=\frac{6\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

$\mathrm{y}$-এর সকল বাস্তব মানের জন্য $\mathrm{x}$ এর মান বাস্তব হয়

∴ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $\mathrm{R}_{\mathrm{f}}=\mathbb{R}$

∴ নির্ণেয় ডোমেন $\mathrm{D}_{\mathrm{f}}=(-6,6)$ এবং রেঞ্জ $\mathrm{R}_{\mathrm{f}}=\mathbb{R}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $\log _{\sqrt{27}} \mathrm{~m}=2 \frac{2}{3}$

বা, $\log _{\sqrt{27}} \mathrm{~m}=\frac{8}{3}$

বা, $\mathrm{m}=(\sqrt{27})^{\frac{8}{3}}$

বা, $m=\left(\sqrt{3^3}\right)^{\frac{8}{3}}$

বা, $m=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{8}{3}}$

বা, $\mathrm{m}=3^4$

$\therefore \mathrm{m}=81$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $r^2+\sqrt[3]{8}=5^{\frac{2}{3}}+5^{-\frac{2}{3}}$

বা, $r^2+2=5^{\frac{2}{3}}+5^{-\frac{2}{3}} \quad[\sqrt[3]{8}=2]$

বা, $r^2=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{-2}{3}}-2$

বা, $r^2=\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^2-2.5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{-1}{3}}+\left(5^{\frac{-1}{3}}\right)^2$

বা, $r^2=\left(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}\right)^2$

বা, $r=5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}$ [বর্গমূল করে, $r \geq 0$ ]

বা, $\mathrm{r}^3=\left(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}\right)^3$ [ঘন করে পাই]

বা, $r^3=\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(5^{\frac{-1}{3}}\right)^3$

$-3.5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{-1}{3}}\left(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}\right)$

বা, $r^3=5^1-5^{-1}-3.5^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}$ (r) $\left[\because r=5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}\right]$

বা, $r^3=5-\frac{1}{5}-3 r$ বা, $r^3=\frac{25-1-15 r}{5}$

বা, $5 r^3=24-15 r$

$\therefore 5 r^3+15 r-24=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $ \mathrm{a}=5+\log _{\mathrm{x}}(\mathrm{yz}), \mathrm{b}=7+\log _{\mathrm{y}}(2 \mathrm{x}),$

$ \mathrm{c}=9+\log _{\mathrm{z}}(\mathrm{xy}) $

বামপক্ষ $=(\mathrm{a}-4)^{-1}+(\mathrm{b}-6)^{-1}+(\mathrm{c}-8)^{-1}$

$=\frac{1}{\mathrm{a}-4}+\frac{1}{\mathrm{~b}-6}+\frac{1}{\mathrm{c}-8} $

$=\frac{1}{5+\log _{\mathrm{x}}(\mathrm{yz})-4}+\frac{1}{7+\log _{\mathrm{y}}(\mathrm{zx})-6}+\frac{1}{9+\log _{\mathrm{z}}(\mathrm{xy})-8} $

$ =\frac{1}{\log _{\mathrm{x}}(\mathrm{yz})+1}+\frac{1}{\log _{\mathrm{y}}(\mathrm{zx})+1}+\frac{1}{\log _{\mathrm{z}}(\mathrm{xy})+1} $

$=\frac{1}{\log _{\mathrm{x}}(\mathrm{yz})+\log _{\mathrm{x}} \mathrm{x}}+\frac{1}{\log _{\mathrm{y}}(\mathrm{zx})+\log _{\mathrm{y}} \mathrm{y}}+\frac{1}{\log _{\mathrm{z}}(\mathrm{xy})+\log _{\mathrm{z}} \mathrm{z}} $

$=\frac{1}{\log _{\mathrm{x}} \mathrm{xyz}}+\frac{1}{\log _{\mathrm{y}} \mathrm{xyz}}+\frac{1}{\log _{\mathrm{z}} \mathrm{xyz}} $

$ =\log _{\mathrm{xyz}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{xyz}} \mathrm{y}+\log _{\mathrm{xyz}} \mathrm{z}\left[\therefore \log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}=\frac{1}{\log _{\mathrm{b}} \mathrm{a}}\right] $

$ =\log _{\mathrm{xyz}} \mathrm{xyz} $

= 1 = ডানপক্ষ

$\therefore(a-4)^{-1}+(b-6)^{-1}+(c-8)^{-1}=1$ (প্রমাণিত)

$f(x)=\frac{x-3}{|x-3|}$, যেখানে $x\ne3$

$x>3$ হলে $|x-3|=x-3$

তাই $f(x)=1$

$x<3$ হলে $|x-3|=-(x-3)$

তাই $f(x)=-1$

অতএব রেঞ্জ $=\{-1,1\}$

দেওয়া আছে, $p^2+2=\sqrt[3]{49}+\frac{1}{\sqrt[3]{49}}$

বা, $p^2+2=\sqrt[3]{7^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$

বা, $\mathrm{p}^2+2=7^{\frac{2}{3}}+7^{-\frac{2}{3}}$

বা, $\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^2-2 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}+\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

বা, $\mathrm{p}^2=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^2$

বা, $\mathrm{p}=7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)^3$ [ঘন করে]

বা, $\mathrm{p}^3=\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)^3-3 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}\left(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}\right)$

বা, $p^3=7-7^{-1}-3 . p$

বা, $\mathrm{p}^3=7-\frac{1}{7}-3 \mathrm{p}$

বা, $\mathrm{p}^3=\frac{49-1-21 \mathrm{p}}{7}$

বা, $7 p^3=48-21 p$

$\therefore 7 p^3+21 p=48$ (প্রমাণিত)

ধরি, $Q(x)=y=2^{1-x} ;-4 \leq x \leq 4$

প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য $x$ এবং $y$ এর মানগুলোর তালিকা প্রস্তুত করি

ছক কাগজে মানগুলো স্থাপন করলে নিম্নরূপ লেখচিত্র পাওয়া যায়

চিত্র থেকে লক্ষ করলে দেখা যায়,

$-4 \leq \mathrm{x} \leq 4$ সীমার মধ্যে y এর প্রান্তিক মানদ্বয় 32 ও $\frac{1}{8}$

$y(-4)=2^{1-(-4)}=2^5=32$ এবং $y(4)=2^{1-4}=2^{-3}=\frac{1}{8}$

∴ প্রদত্ত সীমার মধ্যে রেঞ্জ $\mathrm{R}=\left[\frac{1}{8}, 32\right]$

একইভাবে, $\mathrm{x}$ এর যেকোনো ধনাত্মক মানের জন্য y এর মান ক্রমান্বয়ে হ্রাস পেতে থাকবে এবং শূন্যের খুব কাছাকাছি পৌঁছায় কিন্তু শূন্য ( 0 ) হয় না

অর্থাৎ, $\mathrm{x} \rightarrow \infty, \mathrm{y} \rightarrow 0$

∴ রেঞ্জ $\mathrm{R}=(0, \infty)$. (Ans.)

দেওয়া আছে, $a^{a \sqrt{a}}=(a \sqrt{a})^a$

বা, $\left(a^a\right)^{\sqrt{a}}=\left(a \cdot a^{\frac{1}{2}}\right)^a$

বা, $\left(a^a\right)^{\sqrt{a}}=\left(a^{1+\frac{1}{2}}\right)^a=\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^a=\left(a^a\right)^{\frac{3}{2}}$

বা, $\left(a^a\right)^{\sqrt{a}}=\left(a^a\right)^{\frac{3}{2}}$

বা, $\sqrt{\mathrm{a}}=\frac{3}{2}$

বা, $(\sqrt{a})^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$ [বর্গ করে]

$\therefore a=\frac{9}{4}$

নির্ণেয় মান: $\frac{9}{4}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{M}=\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{y}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{z}}+1}+\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{z}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}+1}+\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1}$

এবং $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$

এখন, $\mathrm{M}=\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{y}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{z}}+1}+\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{z}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{x}}+1}+\frac{1}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{a}^{-\mathrm{y}}+1}$

বা, $M=\frac{a^{-y}}{a^y \cdot a^{-y}+a^{-z} \cdot a^{-y}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^z \cdot a^x+a^{-x} \cdot a^x+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

বা, $\quad M=\frac{a^{-y}}{1+a^{-(y+z)}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{(x+z)}+1+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

বা, $\quad M=\frac{a^{-y}}{1+a^{-(-x)}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{-y}+1+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}[\because x+y+z=0]$

বা, $\mathbf{M}=\frac{\mathbf{a}^{-\mathbf{y}}}{1+\mathbf{a}^{\mathbf{x}}+\mathbf{a}^{-\mathbf{y}}}+\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{x}}}{1+\mathbf{a}^{\mathbf{x}}+\mathbf{a}^{-\mathbf{y}}}+\frac{1}{1+\mathbf{a}^{\mathbf{x}}+\mathbf{a}^{-\mathbf{y}}}$

বা, $M=\frac{a^{-y}+a^x+1}{1+a^x+a^{-y}}=\frac{1+a^x+a^{-y}}{1+a^x+a^{-y}}=1$

$\therefore \quad \mathrm{M}=1$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=4^{\mathrm{x}}-3 \cdot 2^{\mathrm{x}+2}$

এখন, $\mathrm{A}=-32$ হলে, $4^{\mathrm{x}}-3 \cdot 2^{\mathrm{x}+2}=-32$

বা, $\left(2^2\right)^x-3 \cdot 2^x \cdot 2^2+32=0$

বা, $\left(2^x\right)^2-12 \cdot 2^x+32=0$

বা, $y^2-12 y+32=0$ [ধরি, $2^x=y$ ]

বা, $y^2-8 y-4 y+32=0$

বা, $y(y-8)-4(y-8)=0$ বা, $(y-8)(y-4)=0$

হয়, $y-8=0$

বা, $y=8$

বা, $2^x=8=2^3$

বা, $x=3$

অথবা, $\mathrm{y}-4=0$

বা, $\mathrm{y}=4$

বা, $2^x=4=2^2$

বা, $x=2$

নির্ণেয় মান: $x = 2, 3$

দেওয়া আছে, $\mathrm{F}(\mathrm{x})=36 \mathrm{x}^2-\mathrm{Kx}-5$
এখানে, $(2 x-1)=2\left(x-\frac{1}{2}\right)$,
$\mathrm{F}(\mathrm{x})$ এর একটি উৎপাদক হলে, $\mathrm{F}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ হবে

অর্থাৎ $\mathrm{F}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
বা, $36\left(\frac{1}{2}\right)^2-K\left(\frac{1}{2}\right)-5=0$
বা, $36 \times \frac{1}{4}-\frac{K}{2}=5$
বা, $9-5=\frac{K}{2}$
বা, $4=\frac{K}{2}$
বা, $K=4 \times 2=8$
নির্ণেয় মান : $\mathrm{K}=8$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+11 \mathrm{x}-6$

$\therefore \quad Q(1)=1^3-6 \cdot 1^2+11 \cdot 1-6=1-6+11-6=0$

$\therefore \quad(\mathrm{x}-1), \mathrm{Q}(\mathrm{x})$ এক একটি উৎপাদক

এখন, $\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+11 \mathrm{x}-6$ 

$\begin{aligned} & =x^3-x^2-5 x^2+5 x+6 x-6 \\ & =x^2(x-1)-5 x(x-1)+6(x-1) \\ & =(x-1)\left(x^2-5 x+6\right)=(x-1)\left(x^2-3 x-2 x+6\right) \\ & =(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}=(x-1)(x-2)(x-3) \\ \therefore \quad & \frac{x^3}{Q(x)}=\frac{x^3}{x^3-6 x^2+11 x-6}=\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\end{aligned}$ 

মনে করি, $\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)} \equiv 1+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}-3}$.....(i)$

 উভয়পক্ষকে $(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই, 

$x^3 \equiv(x-1)(x-2)(x-3)+A(x-2)(x-3)$ 

$+\mathrm{B}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-3)+\mathrm{C}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)$.....(ii)$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই 

$\begin{aligned} 1^3=(1-1)(1-2)(1-3)+A(1-2)(1-3)+B(1-1)(1-3)+C(1-1)(1-2)\end{aligned}$ 

বা, $1=0+\mathrm{A}(-1)(-2)+\mathrm{B} \times 0+\mathrm{C} \times 0$
বা, $1=2 \mathrm{~A}$ 

$\therefore \quad \mathrm{A}=\frac{1}{2}$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{x}=2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{aligned}2^3=(2-1)(2-2) & (2-3)+\mathrm{A}(2-2)(2-3)+\mathrm{B}(2-1)(2-3)+\mathrm{C}(2-1)(2-2)\end{aligned}$

বা, $8=0+\mathrm{A} \times 0+\mathrm{B} \times 1(-1)+\mathrm{C} \times 0$
বা, $8=-\mathrm{B}$
বা, $\mathrm{B}=-8$ 

আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই, 

$3^3=(3-1)(3-2)(3-3)+A(3-2)(3-3)$ 

$+B(3-1)(3-3)+C(3-1)(3-2)$ b

বা, $27=0+\mathrm{A} \times 0+\mathrm{B} \times 0+\mathrm{c} \times 2 \times 1$
বা, 27-2C

$\therefore \quad C=\frac{27}{2}$

এখন, (i) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই, 

$\begin{aligned} & \frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-8}{x-2}+\frac{\frac{27}{2}}{x-2} \\ \therefore & \frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{x-2}+\frac{27}{2(x-3)}\end{aligned}$ 

এটিই নির্ণেয় আংশিক  ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ

এখানে, $\frac{p}{x^2-y z}=\frac{q}{y^2-z x}=\frac{r}{z^2-x y} \neq 0$ 
ধরি, $\frac{p}{x^2-y z}=\frac{q}{y^2-z x}=\frac{r}{z^2-x y}=\frac{1}{k} \neq 0$ 

$\therefore \quad \frac{q}{x^2-y z}=\frac{1}{k}$

বা, $p k=x^2-y z$
বা, $x^3-x y z=p x k$ $......$ [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে]

$\frac{q}{y^2-z x}=\frac{1}{k}$

বা, $\mathrm{qk}=\mathrm{y}^2-\mathrm{zx}$
বা, $y^3-x y z=q y k$ $......(ii)$  [উভয়পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে] এবং $\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}}=\frac{1}{\mathrm{k}}$
বা, $\mathrm{rk}=z^2-\mathrm{xy}$
বা, $z^3-x y z=r z k$ $......(iii)$ [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে]
(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$x^3-x y z+y^3-x y z+z^3-x y z=p x k+q y k+r z k$

বা, $\quad x^3+y^3+z^3-3 x y z=k(p x+q y+r z)$
বা, $(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}\right)=\mathrm{k}(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz})$
বা, $(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})\left\{\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{yz}\right)+\left(\mathrm{y}^2-\mathrm{zx}\right)+\left(\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}\right)\right\}=\mathrm{k}(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz})$
বা, $(x+y+z)(p k+q k+r k)=k(p x+q y+r z)$

$\left[\because x^2-y z=p k, y^2-z x=q k, z^2-x y=r k\right]$

বা, $(x+y+z) k(p+q+r)=k(p x+q y+r z)$
$\therefore \quad(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})=\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{B}=2+\log _{\mathrm{q}} \mathrm{rp}$

এখন, $\mathrm{B}=4$ হলে, $2+\log _{\mathrm{q}} \mathrm{rp}=4$

বা, $\log _q r p=4-2=2$

বা, $\{q\}^2=r p\left[\because \log _a x=p\right.$ হলে, $\left.a^p=x\right]$

বা, $\mathrm{q} \times \mathrm{q}=\mathrm{rp}$

বা, $\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$

$\therefore \quad \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{r}}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=1+\log _{\mathrm{p}} \mathrm{qr}, \mathrm{B}=2+\log _{\mathrm{q}} \mathrm{rp}$

এবং $\mathrm{C}=3+\log _{\mathrm{r}} \mathrm{pq}$

$L.H.S. =\frac{1}{\mathrm{~A}}+\frac{1}{\mathrm{~B}-1}+\frac{1}{\mathrm{C}-2}$

$\begin{aligned} & =\frac{1}{1+\log _p q r}+\frac{1}{2+\log _q r p-1}+\frac{1}{3+\log _r p q-2} \\ & =\frac{1}{1+\log _p q r}+\frac{1}{1+\log _q r p}+\frac{1}{1+\log _r p q} \\ & =\frac{1}{\log _p p+\log _p q r}+\frac{1}{\log _q q+\log _q r p}+\frac{1}{\log _r r+\log _r p q}\left[\because \log _a a=1\right] \\ & =\frac{1}{\log _p p(q r)}+\frac{1}{\log _q q(p r)}+\frac{1}{\log _r r(p q)} \\ & =\frac{1}{\log _p p q r}+\frac{1}{\log _q p q r}+\frac{1}{\log _r p q r} \\ & =\log _{p q r} p+\log _{p q r} q+\log _{p q r} r\left[\because \log _a b=\frac{1}{\log _b a}\right] \\ & =\log _{p q r}(p . q . r) \\ & =\log _{p q r} p q r=1=R.HS\end{aligned}$

$\therefore \quad \frac{1}{\mathrm{~A}}+\frac{1}{\mathrm{~B}-1}+\frac{1}{\mathrm{C}-2}=1$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{m}=2+2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$

বা, $m-2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$............(1)

বা, $(m-2)^3=\left(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)^3$ [উভয়পক্ষে ঘন করে]

বা, $\mathrm{m}^3-3 \cdot \mathrm{~m}^2 \cdot 2+3 \cdot \mathrm{~m} \cdot 2^2-2^3=\left(2^{\frac{2}{3}}\right)^3+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3+3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)$.

বা, $\mathrm{m}^3-6 \mathrm{~m}^2+12 \mathrm{~m}-8=2^2+2^1+3 \cdot 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} \times(\mathrm{m}-2)$ [(1) নং হতে পাই]

বা, $m^3-6 m^2+12 m-8=4+2+3 \cdot 2^{\frac{2+1}{3}}(m-2)$

বা, $\mathrm{m}^3-6 \mathrm{~m}^2+12 \mathrm{~m}-8=6+3 \cdot 2^{\frac{3}{3}} \cdot(\mathrm{~m}-2)$

বা, $\mathrm{m}^3-6 \mathrm{~m}^2+12 \mathrm{~m}-8=6+3 \cdot 2^1 \cdot(\mathrm{~m}-2)$

বা, $m^3-6 m^2+12 m-8=6+6 m-12$

বা, $\mathrm{m}^3-6 \mathrm{~m}^2+12 \mathrm{~m}-6 \mathrm{~m}-8-6+12=0$

$\therefore \quad \mathrm{m}^3-6 \mathrm{~m}^2+6 \mathrm{~m}-2=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}(\mathrm{y})=\mathrm{y}^3-\mathrm{y}^2-10 \mathrm{y}-8$

এখন, $\mathrm{P}(\mathrm{y})$ কে $(\mathrm{y}+5)=\{\mathrm{y}-(-5)\}$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

$\begin{aligned} P(-5) & =(-5)^3-(-5)^2-10(-5)-8 \\ & =-125-25+50-8 \\ & =-108 \end{aligned}$

নির্ণেয় ভাগশেষ : $- 108$

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}(\mathrm{y})=\mathrm{y}^3-\mathrm{y}^2-10 \mathrm{y}-8$

এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{y})$ কে ( $\mathrm{y}-\mathrm{a}$ ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

$P(a)=a^3-a^2-10 a-8$

আবার, $P(y)$ কে $(y-b)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

$P(b)=b^3-b^2-10 b-8$

শর্তমতে, $\mathrm{P}(\mathrm{a})=\mathrm{P}(\mathrm{b})$

বা, $a^3-a^2-10 a-8=b^3-b^2-10 b-8=0$

বা, $a^3-b^3-a^2+b^2-10 a+10 b=0$

বা, $a^3-b^3-\left(a^2-b^2\right)-10(a-b)=0$

বা, $(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)-(a+b)(a-b)-10(a-b)=0$

বা, $(a-b)\left\{a^2+a b+b^2-(a+b)-10\right\}=0$

বা, $(a-b)\left(a^2+a b+b^2-a-b-10\right)=0$

$\therefore \quad \mathrm{a}-\mathrm{b}=0$

বা, $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, যা গ্রহণযোগ্য নয় কেননা, $a \neq b$

অথবা, $a^2+a b+b^2-a-b-10=0$

বা, $a^2+b^2+a b-a-b-10=0$

সুতরাং $a^2+b^2+a b-a-b-10=0$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{Q}(\mathrm{a})=\mathrm{a}^3+\mathrm{a}^2-6 \mathrm{a}=\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{a}-6\right)$

$\begin{aligned} & =a\left(a^2+3 a-2 a-6\right) \\ & =a\{a(a+3)-2(a+3)\} \\ & =a(a+3)(a-2) \\ \therefore \frac{a^2+a-1}{Q(a)}=\frac{a^2+a-1}{a^3+a^2-6 a} & =\frac{a^2+a-1}{a(a+3)(a-2)}\end{aligned}$

ধরি, $\frac{a^2+a-1}{a(a+3)(a-2)} \equiv \frac{A}{a}+\frac{B}{a+3}+\frac{C}{a-2}.....(i)$

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $\mathrm{a}(\mathrm{a}+3)(\mathrm{a}-2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\mathrm{a}^2+\mathrm{a}-1=\mathrm{A}(\mathrm{a}+3)(\mathrm{a}-2)+\mathrm{Ba}(\mathrm{a}-2)+\mathrm{Ca}(\mathrm{a}+3)...(ii)$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{a}=2$ বসিয়ে পাই,

$2^2+2-1=A \times 0+B \times 0+C \times 2(2+3)$

বা, $5=10 \mathrm{C}$

বা, $\mathrm{C}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{a}=-3$ বসিয়ে পাই,

$(-3)^2+(-3)-1=A \times 0+B(-3)(-3-2)+C \times 0$

বা, $9-3-1=\mathrm{B}(-3)(-5)$

বা, $5=15 \mathrm{~B}$

বা, $\mathrm{B}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{a}=0$ বসিয়ে পাই,

$0+0-1=A(0+3)(0-2)+B \times 0+C \times 0$

বা, $-1=-6 \mathrm{~A}$

$\therefore \quad A=\frac{1}{6}$

এখন, (i) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{aligned} & \frac{a^2+a-1}{a(a+3)(a-2)}=\frac{\frac{1}{6}}{a}+\frac{\frac{1}{3}}{a+3}+\frac{\frac{1}{2}}{a-2} \\ \therefore & \frac{a^2+a-1}{Q(a)}=\frac{1}{6 a}+\frac{1}{3(a+3)}+\frac{1}{2(a-2)}\end{aligned}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}=\frac{5-\mathrm{x}}{5+\mathrm{x}}$

এখানে, $y=\frac{5-x}{5+x} \in \mathbb{R}$ হবে যদি ও কেবল যদি

$5+x \neq 0$ হয়

বা, $x \neq-5$

নির্ণেয় ডোমেন $=\mathbb{R}-\{-5\}$.

দেওয়া আছে, $y=\frac{5-x}{5+x}$

ধরি, $f(\mathbf{x})=\mathbf{y}$

$\therefore \mathrm{x}=f^{-1}(\mathrm{y})$

এখন, $y=\frac{5-x}{5+x}$

বা, $5 y+x y=5-x$

বা, $x y+x=5-5 y$

বা, $x(y+1)=5(1-y)$

বা, $x=\frac{5(1-y)}{1+y}$

বা, $f^{-1}(y)=\frac{5(1-y)}{1+y}\left[\because x=f^{-1}(y)\right]$

$\therefore f^{-1}(x)=\frac{5(1-x)}{1+x}$

নির্ণেয় বিপরীত ফাংশন, $f^{-1}(x)=\frac{5(1-x)}{1+x}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{p}=1+\log _{\mathrm{x}}(\mathrm{yz})$

$\mathrm{q}=1+\log _{\mathrm{y}}^{(\mathrm{zx})}$ এবং $\mathrm{r}=1+\log _{\mathrm{z}}^{(\mathrm{xy})}$

বামপক্ষ $=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{1+\log _x^{(y z)}}+\frac{1}{1+\log _y^{(z x)}}+\frac{1}{1+\log _z^{(x y)}}$

$=\frac{1}{\log _x^x+\log _x^{(y z)}}+\frac{1}{\log _y^y+\log _y^{(z x)}}+\frac{1}{\log _z^2+\log _z^{(x y)}}$ $\left[\because \log _a{ }^a=1\right]$

$\begin{aligned} & =\frac{1}{\log _x^x(y z)}+\frac{1}{\log _y^{y(x x)}}+\frac{1}{\log _z^{z(x y)}} \\ & =\frac{1}{\log _x^{(x y z)}}+\frac{1}{\log _y^{(x y z)}}+\frac{1}{\log _x^{(x y z)}} \\ & =\log _{x y z} x+\log _{x y z} y+\log _{x y z} z\end{aligned}$

$=\log _{x y z}(x \cdot y \cdot z)=\log _{x y z}\{ \}^{x y z}=1=$ ডানপক্ষ

$\therefore \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=1$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $(25)^{2 x}=5^{x+1}$

বা, $\left(5^2\right)^{2 x}=5^{x+1}$

বা, $5^{4 x}=5^{x+1}$

বা, $4 x=x+1$

বা, $4 x-x=1$

বা, $3 \mathrm{x}=1$

বা, $x=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{x}=\frac{1}{3}$.

দেওয়া আছে, $(\mathrm{A}-\mathrm{Bx})^{\mathrm{n}}$ একটি দ্বিপদী রাশি

$\mathrm{A}=2$ এবং $\mathrm{B}=-1$ হলে,

$(A-B x)^n=\{2-(-1) x\}^n=(2+x)^n$

এখন, $(2+x)^n=2^n+\{ \}^n C_1 \cdot 2^{n-1} \cdot x^1+\{ \}^n C_2 \cdot 2^{n-2} \cdot x^2$

$+\{ \}^n C_3 \cdot 2^{n-3} \cdot x^3+\{ \}^n C_4 \cdot 2^{n-4} \cdot x^4+\{ \}^n C_5 \cdot 2^{n-5} \cdot x^5+\ldots \ldots . .$

এখানে, রাশিটির ৫ম পদের সহগ হলো $\{ \}^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_4 \cdot 2^{\mathrm{n}-4}$

এবং ৬ষ্ঠ পদের সহগ হলো $\{ \}^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_5 \cdot 2^{\mathrm{n}-5}$

শর্তমতে, $\{ \}^n C_4 \cdot 2^{n-4}=\{ \}^n C_5 \cdot 2^{n-5}$

বা, $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{2^n}{2^4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \times \frac{2^n}{2^3}$

বা, $\frac{2^n}{2^4}=\frac{(n-4)}{5} \cdot \frac{2^n}{2^5}$ বা, $1=\frac{n-4}{5} \cdot \frac{1}{2}$ বা, $\frac{n-4}{10}=1$

বা, $n-4=10$ বা, $n=10+4$

$\therefore \quad n=14$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{n}=14$.

উদ্দীপকের (ii)নং হতে, $\mathrm{y}=\ln \frac{7+\mathrm{x}}{7-\mathrm{x}}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \frac{7+\mathrm{x}}{7-\mathrm{x}}>0$ যদি (i) $7+\mathrm{x}>0$ এবং $7-\mathrm{x}>0$ হয়

অথবা, (ii) $7+\mathrm{x}<0$ এবং $7-\mathrm{x}<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $x>-7$ এবং $-x>-7$

বা, $-7

$\therefore \quad$ ডোমেন $=\{x:-7

$=(-7, \infty) \cap(-\infty, 7)=(-7,7)$

(ii)নং হতে পাই, $x<-7$ এবং $-x<-7$

বা, $x<-7$ এবং $x>7$

$\therefore \quad$ ডোমেন $=\{x: x<-7\} \cap\{x: x>7\}$

$=(-\infty,-7\} \cap(7, \infty)=\varnothing$

∴ ফাংশনটির ডোমেন, $\mathrm{D}_f=$ (i) ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7) \cup \varnothing=(-7,7)$

আবার, $y=f(x)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

বা, $e^y=\frac{7+x}{7-x}$

বা, $7+x=7 e^y-x e^y$

বা, $x+x e^y=7 e^y-7$

বা, $x\left(1+e^y\right)=7\left(e^y-1\right)$

বা, $x=\frac{7\left(e^y-1\right)}{e^y+1}$

$y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়

∴ ফাংশনটির রেঞ্জ, $\mathbf{R}_f=\mathbb{R}$

নির্ণেয় ডোমেন $(-7,7)$ এবং রেঞ্জ $\mathbb{R}$.

দেওয়া আছে, $f(x)=4 x^3-4 x^2-9 x+9$

$\begin{aligned}\therefore f(-1) & =4(-1)^3-4(-1)^2-9(-1)+9 \\& =4(-1)-4 \times 1+9+9=-4-4+18=10 \\\therefore f(2) & =4 \times 2^3-4 \times 2^2-9 \times 2+3 \\& =4 \times 8-4 \times 4-18+9=32-16-9=7\end{aligned}$

$\therefore f(-1)=10$ এবং $f(2)=7$.

দেওয়া আছে, $P(x)=4 x^3-4 C x^2-\frac{C}{3} x+C$

এখানে, $(2 x-1)=2\left(x-\frac{1}{2}\right)$,

$\mathrm{P}(\mathrm{x})$ দ্বারা বিভাজ্য হলে $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ হবে

শর্তমতে, $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}\right)=0$

বা, $4\left(\frac{1}{2}\right)^3-4 C\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{C}{3}\left(\frac{1}{2}\right)+C=0$

বা, $4 \times \frac{1}{8}-4 \mathrm{C} \times \frac{1}{4}-\frac{\mathrm{C}}{6}+\mathrm{C}=0$

বা, $\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{C}}{6}=0$ বা, $\frac{\mathrm{C}}{6}=\frac{1}{2}$ বা, $\mathrm{C}=\frac{6}{2}=3$

$\therefore \quad \mathrm{C}=3$

নির্ণেয় মান : C=3

এখন, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^3-4 \mathrm{Cx}^2-\frac{\mathrm{C}}{3} \mathrm{x}+\mathrm{C}$

$\begin{aligned} & =4 x^3-4 \times 3 x^2-\frac{3}{3} x+3[\because c=3] \\ & =4 x^3-12 x^2-x+3=4 x^3-2 x^2-10 x^2+5 x-6 x+3 \\ & =2 x^2(2 x-1)-5 x(2 x-1)-3(2 x-1) \\ & =(2 x-1)\left(2 x^2-5 x-3\right)=(2 x-1)\left(2 x^2+x-6 x-3\right) \\ & =(2 x-1)\{x(2 x+1)-3(2 x+1)\} \\ & =(2 x-1)(2 x+1)(x-3)\end{aligned}$ 

$\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{x})$ এর অন্যান্য উৎপাদকগুলো হলো : $(2 \mathrm{x}+1)$ এবং $(\mathrm{x}-3)$.

দেওয়া আছে, $P(x)=4 x^3-4 C x^2-\frac{C}{3} x+C$

$C=3$  হলে, $P(x)=4 x^3-4 \times 3 x^2-\frac{3}{3} x+3=4 x^3-12 x^2-x+3$ 
$\therefore P(1)=4 \cdot 1^3-12 \cdot 1^2-1+3=4-12+2=-6$

'খ' হতে প্রাপ্ত, $P(x)=(2 x-1)(2 x+1)(x-3)$
এখন, $\frac{P(1)}{P(x)}=\frac{-6}{(2 x+1)(2 x-1)(x-3)}$
মনে করি, $\frac{-6}{(2 x+1)(2 x-1)(x-3)}=\frac{A}{2 x+1}+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{x-3}$...(i)$

উভয়পক্ষকে $(2 x+1)(2 x-1)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$-6 \equiv A(2 x-1)(x-3)+B(2 x+1)(x-3)+C(2 x+1)(2 x-1)$...(ii)$

যা $x$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য

এখন, $(ii)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}\{r\}-6=A\left(2 \times \frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}-3\right)+B\left(2 \times \frac{1}{2}+1\right)\left(\frac{1}{2}-3\right) \\ +C\left(2 \times \frac{1}{2}+1\right)\left(2 \times \frac{1}{2}-1\right)\end{array}$ 

বা, $-6=A \times 0+B(1+1) \times \frac{-5}{2}+C \times 0=-5 B$ 

$\therefore \quad B=\frac{6}{5}$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{x}=-\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই, 

$\begin{aligned}-6=A\left\{2\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right\} & \left(-\frac{1}{2}-3\right)+B\left\{2\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right\} \\ & \left(-\frac{1}{2}-3\right)+C\left\{2\left(-\frac{1}{2}\right)+1\right\}\left\{2\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right\}\end{aligned}$ 

বা,$\quad-6=A(-2)\left(\frac{-7}{2}\right)+B \times 0+C \times 0=7 A$
$\therefore \quad A=-\frac{6}{7}$

আবার, $(ii)$ নং এর উভয়পক্ষে $\mathrm{x}=3$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}\{r\}-6=A(2 \times 3-1)(3-3)+B(2 \times 3+1)(3-3) \\+C(2 \times 3+1)(2 \times 3-1)\end{array}$

বা, $-6=A \times 0+B \times 0+C \times 7 \times 5=35 C$

$\therefore \quad C=\frac{-6}{35}$

এখন, $(i)$ নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{aligned}& \frac{-6}{(2 x+1)(2 x-1)(x-3)}=\frac{\frac{-6}{7}}{(2 x+1)}+\frac{\frac{6}{5}}{(2 x-1)}+\frac{\frac{-6}{35}}{(x-3)} \\\therefore \quad & \frac{P(1)}{P(x)}=-\frac{6}{7(2 x+1)}+\frac{6}{5(2 x-1)}-\frac{6}{35(x-3)}\end{aligned}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ

দেওয়া আছে, $f(x)=14 x-7+a x^3+28 x^2-a f(\mathrm{x})$ কে বছুপদীর আদর্শ রূপে লিখে পাই,

$f(x)=a x^3+28 x^2+14 x-(a+7)$

এখানে, বহুপদীটির ধুব পদের মান হলো :$- (a+7).$

দেওয়া আছে, $f(\mathrm{x})=14 \mathrm{x}-7+\mathrm{ax}^3+28 \mathrm{x}^2-\mathrm{a}$

$=a x^3+28 x^2+14 x-a-7$

এখন, $(2 x-1)=2\left(x-\frac{1}{2}\right), f(x)$ এর একটি উৎপাদক হলে,

$f\left(\frac{1}{2}\right)=0$  হবে

অর্থাৎ, $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$
বা, $a\left(\frac{1}{2}\right)^3+28\left(\frac{1}{2}\right)^2+14\left(\frac{1}{2}\right)-a-7=0$
বা, $\mathrm{a} \times \frac{1}{8}+28 \times \frac{1}{4}+7-\mathrm{a}-7=0$
বা, $\frac{\mathrm{a}}{8}+7-\mathrm{a}=0$
বা, $\frac{a}{8}-a=-7$ বা,$\frac{a-8 a}{8}=-7$ বা, $\frac{-7 a}{8}=-7$ বা, $a=\frac{7 \times 8}{7}$

$\therefore \quad a=8$

নির্ণেয় মান : $\mathrm{a}=8$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=\mathrm{P}^{-3}+\mathrm{Q}^{-3}+\mathrm{R}^{-3}$
$\mathrm{A}=\frac{3}{\mathrm{PQR}}$ হলে, $\mathrm{P}^{-3}+\mathrm{Q}^{-3}+\mathrm{R}^{-3}=\frac{3}{\mathrm{PQR}}$
বা, $\frac{1}{\mathrm{P}^3}+\frac{1}{\mathrm{Q}^3}+\frac{1}{\mathrm{R}^3}-\frac{3}{\mathrm{PQR}}=0$
বা, $\left(\frac{1}{P}\right)^3+\left(\frac{1}{Q}\right)^3+\left(\frac{1}{R}\right)^3-3 \cdot \frac{1}{P} \cdot \frac{1}{Q} \cdot \frac{1}{R}=0$
বা, $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{P}}+\frac{1}{\mathrm{Q}}+\frac{1}{\mathrm{R}}\right)\left\{\left(\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{1}{\mathrm{Q}}\right)^2+\left(\frac{1}{\mathrm{Q}}-\frac{1}{\mathrm{R}}\right)^2+\left(\frac{1}{\mathrm{R}}-\frac{1}{\mathrm{P}}\right)^2\right\}=0$
বা, $\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}+\frac{1}{R}\right)\left\{\left(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}\right)^2+\left(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{P}\right)^2\right\}=0$
হয়, $\left(\frac{1}{\mathrm{P}}+\frac{1}{\mathrm{Q}}+\frac{1}{\mathrm{R}}\right)=0$
বা, $\frac{1}{\mathrm{P}}+\frac{1}{\mathrm{Q}}+\frac{1}{\mathrm{R}}=0$
বা, $\frac{\mathrm{QR}+\mathrm{RP}+\mathrm{PQ}}{\mathrm{PQR}}=0$ বা, $\mathrm{QR}+\mathrm{RP}+\mathrm{PQ}=0$
$\therefore \mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=0$
অথবা, $\left(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}\right)^2+\left(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{P}\right)^2=0$
কিন্তু, কতগুলো বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে

$\therefore \quad\left(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}\right)^2=0$ 

বা, $\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}=0$
বা, $\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{1}{\mathrm{Q}}$ 

$\begin{array}\{ll\}\therefore & P=Q \\ \therefore & P=Q=R\end{array}$ 

$\therefore\left(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R}\right)^2=0$ 

বা, $\frac{1}{Q}-\frac{1}{R}=0$
বা, $\frac{1}{Q}=\frac{1}{R}$ 

$\therefore \quad Q=R$ 

$\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{P}\right)^2=0$ 

বা, $\frac{1}{R}-\frac{1}{P}=0$
বা, $\frac{1}{\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{P}}$ 

$\therefore R=P$ 

$\therefore \quad P=Q=R$ 

অর্থাৎ, $\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=0$ এবং $\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{R}$. (দেখানো হলো)